Determine a derivada direcional de f em P na direção do vetor a.
z=x^{2}-3 x y+4 y^{3}, P=(-2,0), a=i+2 j

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f em P na direção do vetor a. Informações dadas:
f(x,y)=x^{2}-3xy+4y^{3},
P=(-2,0),
a=\mathbf{i}+2\mathbf{j} \quad\text{(ou seja, }a=(1,2)\text{).}

Passo 2

Definição e ideia chave: a derivada direcional de f em P na direção de um vetor unitário u mede a taxa de variação de f quando nos movemos a partir de P na direção de u por unidade de comprimento. A fórmula prática usa o gradiente:
D_{u}f(P)=\nabla f(P)\cdot u.
Aqui \nabla f(P) é o vetor gradiente em P, cujas componentes são as derivadas parciais de f:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Importante: devemos usar um vetor unitário u. Se o vetor dado for a, primeiro normalizamos a dividindo por sua norma \|a\|.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f. Derivamos f em relação a x tratando y como constante, e em relação a y tratando x como constante:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x-3y,
\frac{\partial f}{\partial y}=-3x+12y^{2}.
Explicação curta: para \partial f/\partial x derivamos x^{2} dando 2x, -3xy -3y (pois y é constante) e 4y^{3} 0. Para \partial f/\partial y derivamos -3xy dando -3x e 4y^{3} 12y^{2}.

Passo 4

Avaliar o gradiente em P=(-2,0). Substituímos na expressão das parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}(-2,0)=2\cdot(-2)-3\cdot0=-4,
\frac{\partial f}{\partial y}(-2,0)=-3\cdot(-2)+12\cdot0^{2}=6.
Logo
\nabla f(-2,0)=(-4,6).

Passo 5

Normalizar o vetor a=(1,2). Primeiro a norma:
\|a\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}.
O vetor unitário na direção de a é
u=\frac{a}{\|a\|}=\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right).
Lembrete: dividimos por \|a\| para medir a variação por unidade de deslocamento.

Passo 6

Calcular a derivada direcional como produto escalar entre \nabla f(P) e u:
D_{u}f(-2,0)=\nabla f(-2,0)\cdot u = (-4,6)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right).
Fazendo o produto escalar:
D_{u}f(-2,0)=\frac{-4\cdot 1 + 6\cdot 2}{\sqrt{5}}=\frac{-4+12}{\sqrt{5}}=\frac{8}{\sqrt{5}}.
Racionalizando (opcional):
\frac{8}{\sqrt{5}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}.

Resposta

\dfrac{8\sqrt{5}}{5}

Exercícios relacionados