Determine a derivada direcional de
em
na direção do vetor
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional de
em
na direção do vetor
. Informações dadas:
Passo 2
Definição e ideia chave: a derivada direcional de
em
na direção de um vetor unitário
mede a taxa de variação de
quando nos movemos a partir de
na direção de
por unidade de comprimento. A fórmula prática usa o gradiente:
Aqui
é o vetor gradiente em
, cujas componentes são as derivadas parciais de
:
Importante: devemos usar um vetor unitário
. Se o vetor dado for
, primeiro normalizamos
dividindo por sua norma
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Derivamos
em relação a
tratando
como constante, e em relação a
tratando
como constante:
Explicação curta: para
derivamos
dando
,
dá
(pois
é constante) e
dá
. Para
derivamos
dando
e
dá
.
Passo 4
Avaliar o gradiente em
. Substituímos na expressão das parciais:
Logo
Passo 5
Normalizar o vetor
. Primeiro a norma:
O vetor unitário na direção de
é
Lembrete: dividimos por
para medir a variação por unidade de deslocamento.
Passo 6
Calcular a derivada direcional como produto escalar entre
e
:
Fazendo o produto escalar:
Racionalizando (opcional):