Colcule o limite da seguinte sequência:
an=(ln m)^km, k in N

Passo 1

A sequência é definida por am = (ln m)^km com k natural. O tópico aqui é limites de sequências envolvendo crescimento assintótico de funções, e vamos usar a regra de L’Hôpital para comparar (ln m)^k com m.

Passo 2

Para passar de sequência para uma função contínua, considere f(x)=(ln x)^kx para x>1. O limite de am quando mtoinfty é igual ao limite de f(x) quando xtoinfty. Note que quando xtoinfty, tanto o numerador (ln x)^k quanto o denominador x vão para +infty, caracterizando uma forma indeterminada tfracinftyinfty.

Passo 3

Aplique a regra de L’Hôpital: derivando numerador e denominador, obtemos
ddxl((ln x)^kr)=k(ln x)^k-1cdot1x, ddx(x)=1
Então
limxtoinfty(ln x)^kx =limxtoinftyk(ln x)^k-1x
Se ainda for indeterminado, repetimos o processo mais k-1 vezes.

Passo 4

Cada aplicação de L’Hôpital reduz o expoente de ln x em 1 e acumula um fator numérico até chegar a
limxtoinftyk!x=0
Ou seja, depois de k derivações, o numerador vira uma constante e o denominador cresce sem limites, puxando o quociente para zero.

Resposta

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