Questões de unicidade. No Capítulo 1 , indicamos que nas aplicações a maioria dos problemas de valor inicial terá uma única solução. De fato, a existência de solução única
Conforme encontrado no item ©, os domínios das soluções dependem das condições iniciais. Para o problema de valor inicial d y / d x=x y^3 com y(0)=a, a>0, mostre que, à medida que a se aproxima de zero pela direita, o dominio se aproxima da linha inteira (-infty, infty), e à medida que a se aproxima de +infty, o domínio encolhe para um único ponto.

Passo 1

O problema é dydx = x,y^3 com y(0)=a>0. Para resolver vamos usar separação de variáveis e depois achar o domínio máximo onde a solução existe.

Passo 2

Na separação de variáveis, escrevemos dyy^3 = x,dx, e integramos cada lado. A integral de y^-3 em relação a y e de x em relação a x dá:
integral y^-3dy = -tfrac12y^2 + C,
integral x,dx = tfracx^22

Passo 3

Igualando as integrais, fica -tfrac12y^2 = tfracx^22 + C. Agora aplicamos a condição inicial y(0)=a: substituindo x=0,y=a C = -tfrac12a^2.

Passo 4

Substituindo C na expressão geral e multiplicando ambos os lados por -2, obtemos:
1y^2 = 1a^2 - x^2

Passo 5

Logo a solução explícita é:
y(x) = 1raiztfrac1a^2 - x^2

Passo 6

Para y(x) ser real e finito precisamos tfrac1a^2 - x^2 >0, isto é |x| < 1/a. Isso define o domínio máximo da solução como (-1/a,,1/a).

Passo 7

Agora analisamos os limites de a. Quando a to 0^+, temos 1/a to +infty, logo o domínio vira (-infty,infty). Quando a to +infty, então 1/a to 0^+ e o domínio encolhe para o ponto x=0.

Resposta

O domínio máximo da solução é (-1/a,1/a). À medida que a→0+ esse domínio tende a (-∞,∞), e quando a→+∞ encolhe para o ponto {0}.

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