Questões de unicidade. No Capítulo 1 , indicamos que nas aplicações a maioria dos problemas de valor inicial terá uma única solução. De fato, a existência de solução única
Conforme encontrado no item ©, os domínios das soluções dependem das condições iniciais. Para o problema de valor inicial
, mostre que, à medida que
se aproxima de zero pela direita, o dominio se aproxima da linha inteira
, e à medida que
se aproxima de
, o domínio encolhe para um único ponto.
Conforme encontrado no item ©, os domínios das soluções dependem das condições iniciais. Para o problema de valor inicial
Passo 1
O problema é
com
. Para resolver vamos usar separação de variáveis e depois achar o domínio máximo onde a solução existe.
Passo 2
Na separação de variáveis, escrevemos
, e integramos cada lado. A integral de
em relação a
e de
em relação a
dá:
Passo 3
Igualando as integrais, fica
. Agora aplicamos a condição inicial
: substituindo
dá
.
Passo 4
Substituindo
na expressão geral e multiplicando ambos os lados por -2, obtemos:
Passo 5
Logo a solução explícita é:
Passo 6
Para
ser real e finito precisamos
, isto é
. Isso define o domínio máximo da solução como
.
Passo 7
Agora analisamos os limites de
. Quando
, temos
, logo o domínio vira
. Quando
, então
e o domínio encolhe para o ponto
.
Resposta
O domínio máximo da solução é (-1/a,1/a). À medida que a→0+ esse domínio tende a (-∞,∞), e quando a→+∞ encolhe para o ponto {0}.