Use a integral indefinida para encontrar uma solução explicita para os problemas do valor inicial nos itens (a)-©.
d y / d x=raiz1+sen x(1+y^2),
y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá uma EDO de primeira ordem separável:
Precisamos resolver
dydx=raiz1+sin x,(1+y^2)
com condição inicial y(0)=1. O conteúdo é equações diferenciais separáveis e vamos usar integrais indefinidas para encontrar a solução explícita.

Passo 2

Separe as variáveis levando todos os termos em y para o lado esquerdo e os termos em x para o direito:
11+y^2,dy=raiz1+sin x,dx

Passo 3

Integre ambos os lados. No lado esquerdo temos a integral de 1/(1+y^2), que é arctan y. No direito, use a identidade de ângulo metade+45°:
1+sin x=2sin^2l( x2+pi4r)
logo
raiz1+sin x=raiz2,sinl( x2+pi4r)
Assim
integraldy1+y^2=integralraiz2,sinl( x2+pi4r)dx
que dá
arctan y=-2raiz2cosl( x2+pi4r)+C

Passo 4

Aplique a condição inicial y(0)=1. Substituindo x=0, y=1:
arctan(1)=pi4=-2raiz2cosl(02+pi4r)+C
Como cos(pi/4)=raiz22, vem
-2raiz2cdotraiz22=-2
Logo
pi4=-2+CRightarrow C=pi4+2

Passo 5

Para isolar y, aplicamos a tangente em ambos os lados de
arctan y=-2raiz2cosl( x2+pi4r)+pi4+2
ficando a solução explícita:

Resposta

y(x)=tanl(-2raiz2cosl(tfrac x2+tfracpi4r)+tfracpi4+2r)

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