Colcule o trabalho realizado por F mesma trajetória.
F(x ; y)=(x ; y) (campo vetorial.)
gamma(t)=(t ; t^2), 0 <= t <= 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para calcular o trabalho realizado pelo campo vetorial F(x, y) = (x, y) ao longo da trajetória gamma(t) = (t, t^2), onde t varia de 0 a 2. Vamos utilizar conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente a Integral de Linha para encontrar o trabalho realizado.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva. O trabalho W é calculado pela integral de linha do campo vetorial F ao longo da trajetória gamma:
W = integralgamma F cdot dr
Aqui, dr é o vetor diferencial de deslocamento ao longo da curva.

Passo 3

Vamos parametrizar a trajetória gamma(t) = (t, t^2) para 0 <= t <= 2. Isso significa que à medida que t varia de 0 a 2, a posição na curva é dada por gamma(t).

Passo 4

Agora, precisamos determinar dr, que é a derivada de gamma(t) em relação a t multiplicada por dt. Vamos calcular a derivada:
gamma(t) = (t, t^2) dgammadt = (dtdt, d(t^2)dt) = (1, 2t)
Então,
dr = dgammadt dt = (1, 2t) dt

Passo 5

Agora, substituímos gamma(t) e dr na expressão do trabalho:
W = integral0^2 F(gamma(t)) cdot dgammadt dt F(gamma(t)) = F(t, t^2) = (t, t^2) dgammadt = (1, 2t) F cdot dgammadt = (t)(1) + (t^2)(2t) = t + 2t^3

Passo 6

Agora, calculamos a integral:
W = integral0^2 (t + 2t^3) dt W = integral0^2 t , dt + 2 integral0^2 t^3 dt W = [t^22]0^2 + 2 [t^44]0^2 W = (42 - 0) + 2 (164 - 0) W = 2 + 2 times 4 W = 2 + 8 W = 10

Resposta

O trabalho realizado pelo campo vetorial F ao longo da trajetória gamma(t) é 10 unidades de trabalho.

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