(a) Toda sequência limitada tem limite? Explique.
Passo 1
O enunciado pergunta se toda sequência limitada necessariamente converge; o conteúdo envolve limites de sequências em análise real e vamos precisar das definições de sequência limitada e de sequência convergente.
Passo 2
Uma sequência
é dita limitada se existe
tal que
para todo
. Já converge para
se, para todo
, existe
tal que
sempre que
.
Passo 3
Nem toda sequência limitada converge. Um contraexemplo clássico é a sequência
definida por
. Ela é limitada, pois
para todo
, mas não converge: as subsequências de índices pares tendem a
e as de índices ímpares tendem a
, logo não existe um único
que atenda à definição de limite.
Passo 4
O que vale na reta é o teorema de Bolzano–Weierstrass: toda sequência limitada possui pelo menos uma subsequência convergente, mas isso não garante a convergência da sequência completa. Para que uma sequência limitada convirja, são necessárias condições extras (por exemplo, monotonicidade).
Resposta
Não. Um exemplo é
, que é limitada mas não tem limite.