(a) Toda sequência limitada tem limite? Explique.

Passo 1

O enunciado pergunta se toda sequência limitada necessariamente converge; o conteúdo envolve limites de sequências em análise real e vamos precisar das definições de sequência limitada e de sequência convergente.

Passo 2

Uma sequência (xn) é dita limitada se existe M>0 tal que |xn|<= M para todo n. Já converge para L se, para todo varepsilon>0, existe N tal que |xn-L| sempre que n>= N.

Passo 3

Nem toda sequência limitada converge. Um contraexemplo clássico é a sequência (an) definida por an = (-1)^n. Ela é limitada, pois |an|=1 para todo n, mas não converge: as subsequências de índices pares tendem a 1 e as de índices ímpares tendem a -1, logo não existe um único L que atenda à definição de limite.

Passo 4

O que vale na reta é o teorema de Bolzano–Weierstrass: toda sequência limitada possui pelo menos uma subsequência convergente, mas isso não garante a convergência da sequência completa. Para que uma sequência limitada convirja, são necessárias condições extras (por exemplo, monotonicidade).

Resposta

Não. Um exemplo é an = (-1)^n, que é limitada mas não tem limite.

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