© Toda sequência monótona é convergente? Explique.
Passo 1
Aqui a gente quer entender se toda sequência que cresce (ou decresce) necessariamente chega num valor finito, ou seja, se ela converge. Primeiro, definição: dizemos que uma sequência
é monótona crescente se
para todo
, e monótona decrescente se
. Convergência significa que existe um número
tal que
quando
.
Passo 2
Agora, o Teorema da Convergência Monótona diz que toda sequência monótona que seja também limitada (acima se cresce, ou abaixo se decresce) converge. Ou seja, monotonia + limite garantem convergência.
Mas se a sequência for monótona e não for limitada, ela pode escapar para o infinito e não convergir num número real. Por exemplo, a sequência é crescente (monótona) mas não é limitada acima, e
, logo não converge.
Mas se a sequência for monótona e não for limitada, ela pode escapar para o infinito e não convergir num número real. Por exemplo, a sequência
Passo 3
Portanto, nem toda sequência monótona é convergente: ela só converge se for limitada além de monótona.
Resposta
Não. Uma sequência monótona converge se, e somente se, for limitada (Teorema da Convergência Monótona).