© Toda sequência monótona é convergente? Explique.

Passo 1

Aqui a gente quer entender se toda sequência que cresce (ou decresce) necessariamente chega num valor finito, ou seja, se ela converge. Primeiro, definição: dizemos que uma sequência (an) é monótona crescente se an+1>= an para todo n, e monótona decrescente se an+1<= an. Convergência significa que existe um número L tal que anto L quando ntoinfty.

Passo 2

Agora, o Teorema da Convergência Monótona diz que toda sequência monótona que seja também limitada (acima se cresce, ou abaixo se decresce) converge. Ou seja, monotonia + limite garantem convergência.
Mas se a sequência for monótona e não for limitada, ela pode escapar para o infinito e não convergir num número real. Por exemplo, a sequência an = n é crescente (monótona) mas não é limitada acima, e anto +infty, logo não converge.

Passo 3

Portanto, nem toda sequência monótona é convergente: ela só converge se for limitada além de monótona.

Resposta

Não. Uma sequência monótona converge se, e somente se, for limitada (Teorema da Convergência Monótona).

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