Verificar se converge a integral abaixo sendo k constante positiva.
integral0^infty e^-k x d x

Passo 1

A gente tem uma integral imprópria do tipo 1, porque o limite superior é infinito. O enunciado é verificar se a integral
integral0^infty e^-k x , dx
converge, sabendo que k>0.

Passo 2

Por definição de integral imprópria, escrevemos
integral0^infty e^-k x , dx = limbtoinfty integral0^b e^-k x , dx
Agora usamos que a antiderivada de e^-k x é -tfrac1ke^-k x.

Passo 3

Vamos avaliar a antiderivada nos limites de 0 a b e depois tomar btoinfty:
limbtoinfty l[-tfrac1ke^-k xr]0^b = limbtoinftyl(-tfrac1ke^-k b + tfrac1kr)
Como k>0 implica e^-k bto0 quando btoinfty, o resultado fica tfrac1k, ou seja, finito. Portanto a integral converge.

Resposta

Converge e o valor da integral é tfrac1k.

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