Uma coleção de 100 programas de computador foi examinada para detectar erros de sintaxe, input/output e de outro tipo diferente dos anteriores. Desses 100 programas, 20 tinham erros de sintaxe, 10 tinham erros de input/output, 5 tinham erros de outro tipo, 6 tinham erros de sintaxe e de input/output, 3 tinham erros de sintaxe e de outro tipo, 3 tinham erros de input/output e de outro tipo e 2 tinham os três tipos de erros considerados. Um programa é selecionado ao acaso desta coleção. Determine a probabilidade de que o programa seleccionado tenha:
pelo menos um dos três tipos de erros;

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem 100 programas e quer saber a chance de, ao escolher um deles aleatoriamente, ele ter pelo menos um tipo de erro (sintaxe, input/output ou outro). Isso é um problema de probabilidade envolvendo união de eventos e a gente vai usar a fórmula do princípio da inclusão-exclusão.
Conteúdo: probabilidade de união de três eventos.
O que vamos precisar:
  • Definir cada tipo de erro como um evento (A, B e C).
  • Usar a fórmula de inclusão-exclusão
  • Substituir os números dados e calcular.

Passo 2

Primeiro, definimos:
A = programa com erro de sintaxe
B = programa com erro de input/output
C = programa com erro de outro tipo
A gente quer
P(A cup B cup C),
que é a probabilidade de ter “pelo menos um” desses erros.
Teoria rápida: para três eventos, o princípio da inclusão-exclusão diz:
P(A cup B cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(Acap B) - P(Acap C) - P(Bcap C) + P(Acap B cap C)

Passo 3

Agora, transformamos tudo em números, lembrando que cada probabilidade é “número de programas no evento” dividido por 100. Mas, pra simplificar, podemos somar e subtrair diretamente no número de programas, e dividir por 100 no final.
Dados:
  • |A| = 20
  • |B| = 10
  • |C| = 5
  • |A∩B| = 6
  • |A∩C| = 3
  • |B∩C| = 3
  • |A∩B∩C| = 2
Então, pelo princípio da inclusão-exclusão:
#(A cup B cup C) &= 20 + 10 + 5 & - 6 - 3 - 3 & + 2 &= 35 - 12 + 2 = 25
Isso significa que 25 programas têm pelo menos um tipo de erro.

Resposta

P(A cup B cup C) = 25100 = boxedtfrac14 = 0,25

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