1- Um colega de profissão, Engenheiro Agrônomo, dimensionou uma caixa cilíndrica para armazenamento de água, em concreto com capacidade para 20.000 litros de água, cujas dimensões são 2,0 metros de diâmetro. Deseja saber qual será a (Força) que estará atuando no fundo do reservatório e se o concreto projetado para o fundo do reservatório terá resistência para suportar a “Força aplicada por unidade de área”. Resistência do concreto (
).
Passo 1
Dados fornecidos pelo enunciado e o que ele pede:
- Capacidade (volume) do reservatório:
. - Diâmetro do cilindro:
. (Logo o raio é .) - Resistência do concreto disponível (força por unidade de área):
.
O enunciado pede:
- Qual é a força que atuará no fundo do reservatório (força total).
- Qual é a força aplicada por unidade de área no fundo (pressão) e se o concreto projetado (com resistência
) suporta essa pressão.
Informações que vou usar (valores padrão):
- Densidade da água:
. - Aceleração da gravidade:
. - Relação entre
e newton: .
Passo 2
Converter o volume para metros cúbicos e calcular área do fundo e a altura da água (preciso da altura para visualizar a pressão hidrostática, mas a pressão média sobre o fundo pode também ser obtida pela força total/área).
- Converter litros em metros cúbicos:
, logo
- Área da base (círculo) do cilindro:
- Altura da coluna de água (do volume dividido pela área):
Comentário didático curto: em um cilindro
. Aqui usamos isso para obter a altura
da água (não foi fornecida no enunciado, mas é completamente determinada pelo volume e pela área da base).
Passo 3
Calcular a massa da água e a força peso total (força que tende a empurrar o fundo), primeiro em newtons e também em kgf (para facilitar comparação com a resistência do concreto dada em
).
- Massa da água:
- Força peso total (em newtons):
- Força peso em kgf (na superfície da Terra,
corresponde a por definição prática):
Observação didática: a força total que o fluido exerce sobre o fundo, se considerarmos apenas o peso da coluna vertical, é igual ao peso da água; esse peso é a força que precisa ser suportada pelo fundo (na prática existem também reações laterais e efeitos de estabilidade, mas aqui tratamos a carga vertical).
Passo 4
Calcular a pressão no fundo (força por unidade de área). Dois caminhos equivalentes: (a) dividir a força total pela área; (b) usar a fórmula da pressão hidrostática
. Vou mostrar os dois e verificar que dão o mesmo resultado.
- Método 1 (força/área):
- Método 2 (hidrostática):
- Converter essa pressão para
(dividindo por ):
Comentário didático: a pressão hidrostática no fundo depende só da altura
da coluna de água, não do volume total nem da forma do reservatório — mas, no nosso caso, altura e volume estão ligados pela geometria, então pudemos usar
e
para achar
.
Passo 5
Comparação com a resistência do concreto e conclusão.
- Resistência do concreto fornecida:
. - Pressão aplicada pelo água no fundo:
. - Relação (fator) entre pressão aplicada e resistência do concreto:
Interpretação: a pressão aplicada pela água no fundo é aproximadamente
vezes maior do que a resistência indicada para o concreto. Portanto, o concreto com resistência de
NÃO é suficiente para suportar a pressão da água sem falha à compressão/fluência (sem considerar reforços, espessura, armadura, distribuição de carga, fatores de segurança e outros detalhes de projeto estrutural que um engenheiro civil/estrutural deve avaliar).
Passo 6
Resumo de recomendações rápidas (didática e prática):
- Para que o fundo seja seguro, a capacidade resistente efetiva (considerando fator de segurança, armadura e espessura) deve ser maior que a pressão aplicada
. Numericamente, o concreto deve suportar pelo menos na situação ideal; na prática usa-se um coeficiente de segurança (por exemplo ou ) e projeto estrutural com laje armada, o que eleva a necessidade de resistência/espessura. - Portanto: ou aumentar a resistência especificada do material para acima de
(o que é improvável só trocando o concreto), ou projetar um fundo com espessura e armadura adequadas para distribuir e suportar essa carga (a solução típica). Um engenheiro estrutural deve dimensionar a laje com fator de segurança adequado.
Resposta
Força total sobre o fundo:
(equivalente a
).
Pressão (força por unidade de área) no fundo: (equivalente a
).
O concreto especificado com NÃO é suficiente (a pressão aplicada é aproximadamente
vezes maior).
Pressão (força por unidade de área) no fundo:
O concreto especificado com