Considere o seguinte campo vetorial:
Calcule
, para o qual
é a curva que vai do ponto
até o ponto
, formada pelos dois catetos do triângulo retângulo de vértices
e
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial e descreve a curva
:
- Campo vetorial:
. - Curva
: vai de até seguindo os dois catetos do triângulo com vértices . Ou seja, é a união de dois segmentos orientados de para : - Segmento
: de até (segmento horizontal). - Segmento
: de até (segmento vertical).
- Segmento
- O que se pede: calcular
.
Passo 2
Escolha do método (explicação): aqui é eficiente testar se
é um campo conservativo (isto permite usar uma função potencial e aplicar o teorema fundamental das integrais de linha). Em
(que é simplesmente conexo) uma condição prática é comparar as derivadas parciais
e
, onde
e
. Se elas forem iguais em todo o plano, então
é conservativo e
depende apenas dos pontos finais (logo basta achar uma potencial
e calcular
). Vou seguir esse caminho porque é mais curto e limpo do que parametrizar os dois segmentos.
Passo 3
Verificação das derivadas parciais:
-
. Calcular . Como não depende de , -
. Calcular . Como não depende de ,
Conclusão:
. Como isso vale em todo
(domínio simplesmente conexo),
é um campo conservativo.
Passo 4
Encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa
Integramos a primeira igualdade em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
. Agora derivamos essa expressão em relação a
e igualamos a
:
Integrando
obtemos
onde
é constante absoluta (irrelevante para diferenças). Portanto uma função potencial é
Podemos tomar
pois ele cancela ao calcular diferenças.
Passo 5
Aplicar o teorema fundamental das integrais de linha para campos conservativos:
Ou seja, basta avaliar
nos pontos
e
e subtrair.
Passo 6
Calcular
e
passo a passo:
- Para
: - Para
:
Subtraindo:
Passo 7
Comentário final de verificação: se for mais confortável, dá para parametrizar explicitamente
e
, calcular
e
separadamente e somar; esse cálculo dará exatamente
. O método da função potencial economiza trabalho e é o recomendado aqui.