Considere o seguinte campo vetorial:
\begin{gathered} \mathbf{F}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \\\ F(x, y)=\left(x^{2}, y^{2}\right)=x^{2} \vec{i}+y^{2} \vec{j} . \end{gathered}
Calcule \int_{C} F d r, para o qual C é a curva que vai do ponto A=(-1,2) até o ponto B=(2,8), formada pelos dois catetos do triângulo retângulo de vértices (-1,2),(2,2) e (2,8).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial e descreve a curva C:
  • Campo vetorial: \mathbf{F}(x,y)=\bigl(x^{2},y^{2}\bigr)=x^{2}\,\vec{i}+y^{2}\,\vec{j}.
  • Curva C: vai de A=(-1,2) até B=(2,8) seguindo os dois catetos do triângulo com vértices (-1,2),(2,2),(2,8). Ou seja, C é a união de dois segmentos orientados de A para B:
    • Segmento C_{1}: de A=(-1,2) até (2,2) (segmento horizontal).
    • Segmento C_{2}: de (2,2) até B=(2,8) (segmento vertical).
  • O que se pede: calcular \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.

Passo 2

Escolha do método (explicação): aqui é eficiente testar se \mathbf{F} é um campo conservativo (isto permite usar uma função potencial e aplicar o teorema fundamental das integrais de linha). Em \mathbb{R}^{2} (que é simplesmente conexo) uma condição prática é comparar as derivadas parciais \partial P/\partial y e \partial Q/\partial x, onde P(x,y)=x^{2} e Q(x,y)=y^{2}. Se elas forem iguais em todo o plano, então \mathbf{F} é conservativo e \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} depende apenas dos pontos finais (logo basta achar uma potencial \varphi e calcular \varphi(B)-\varphi(A)). Vou seguir esse caminho porque é mais curto e limpo do que parametrizar os dois segmentos.

Passo 3

Verificação das derivadas parciais:
  • P(x,y)=x^{2}. Calcular \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}. Como P não depende de y, \frac{\partial P}{\partial y}=0.
  • Q(x,y)=y^{2}. Calcular \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}. Como Q não depende de x, \frac{\partial Q}{\partial x}=0.
Conclusão: \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=0. Como isso vale em todo \mathbb{R}^{2} (domínio simplesmente conexo), \mathbf{F} é um campo conservativo.

Passo 4

Encontrar a função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}. Isso significa
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P(x,y)=x^{2},\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q(x,y)=y^{2}.
Integramos a primeira igualdade em relação a x:
\varphi(x,y)=\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}+h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y. Agora derivamos essa expressão em relação a y e igualamos a Q:
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=h'(y)=y^{2}.
Integrando h'(y)=y^{2} obtemos
h(y)=\int y^{2}\,dy=\frac{y^{3}}{3}+C,
onde C é constante absoluta (irrelevante para diferenças). Portanto uma função potencial é
\varphi(x,y)=\frac{x^{3}}{3}+\frac{y^{3}}{3}+C.
Podemos tomar C=0 pois ele cancela ao calcular diferenças.

Passo 5

Aplicar o teorema fundamental das integrais de linha para campos conservativos:
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi\bigl(B\bigr)-\varphi\bigl(A\bigr).
Ou seja, basta avaliar \varphi nos pontos B=(2,8) e A=(-1,2) e subtrair.

Passo 6

Calcular \varphi(B) e \varphi(A) passo a passo:
  • Para B=(2,8): \varphi(2,8)=\frac{2^{3}}{3}+\frac{8^{3}}{3}=\frac{8}{3}+\frac{512}{3}=\frac{8+512}{3}=\frac{520}{3}.
  • Para A=(-1,2): \varphi(-1,2)=\frac{(-1)^{3}}{3}+\frac{2^{3}}{3}=\frac{-1}{3}+\frac{8}{3}=\frac{-1+8}{3}=\frac{7}{3}.
Subtraindo:
\varphi(B)-\varphi(A)=\frac{520}{3}-\frac{7}{3}=\frac{520-7}{3}=\frac{513}{3}=171.

Passo 7

Comentário final de verificação: se for mais confortável, dá para parametrizar explicitamente C_{1} e C_{2}, calcular \int_{C_{1}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} e \int_{C_{2}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} separadamente e somar; esse cálculo dará exatamente 171. O método da função potencial economiza trabalho e é o recomendado aqui.

Resposta

171

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