Para resolver a integral dupla I=\int_{0}^{3} \int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}}} 15 \cdot \sqrt{x^{2}+y^{2}} d y d x,
convém utilizar coordenadas polares.
Ao transformar \boldsymbol{I} para polares, obtém-se uma única integral dupla cujos limitantes de integração são:
\begin{aligned} & \boldsymbol{\theta} \in[0, \square] \\\ & r \in[0, \square] \end{aligned}
Além disso, após transformar o integrando, juntamente com o diferencial de área, obtém-se que
15 \cdot \sqrt{x^{2}+y^{2}} d y d x=\square d r d \theta
Por fim, resolvendo a integral obtida em polares, encontra-se que o valor numérico de I é dado por
I=\square

Passo 1

O enunciado dá a integral dupla
I=\int_{0}^{3}\int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}}}15\cdot\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dy\,dx.
O que se pede é:
  • Fazer a troca para coordenadas polares e identificar os limites de integração em \theta e r (preencher os colchetes do enunciado);
  • Transformar o integrando acompanhado do diferencial de área (preencher o quadrado correspondente);
  • Calcular numericamente a integral em polares e fornecer o valor final (preencher o último quadrado).
Informações que o enunciado dá e que serão usadas:
  • O integrando é 15\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • As variáveis x e y variam conforme 0\le x\le3 e 0\le y\le\sqrt{9-x^{2}}.
  • A região descrita por essas condições é o conjunto de pontos com x\ge0, y\ge0 e x^{2}+y^{2}\le9.

Passo 2

Lembrete rápido sobre coordenadas polares (aulas práticas!):
  • Em coordenadas polares define-se
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r\ge0 é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo.
  • A quantidade \sqrt{x^{2}+y^{2}} é justamente r, pois \sqrt{(r\cos\theta)^{2}+(r\sin\theta)^{2}}=\sqrt{r^{2}}=r.
  • O diferencial de área transforma-se segundo o jacobiano; um elemento pequeno de área dx\,dy vira r\,dr\,d\theta. Intuição curta: pequenos arcos geram um fator extra r na área.

Passo 3

Determinar a região em polares a partir das desigualdades dadas:
  • A condição x\ge0 implica \cos\theta\ge0, ou seja \theta está no intervalo onde o cosseno é não negativo.
  • A condição y\ge0 implica \sin\theta\ge0.
  • Juntas, essas duas condições forçam \theta a estar no primeiro quadrante, logo
\theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}].
  • A condição x^{2}+y^{2}\le9 em coordenadas polares é r^{2}\le9, ou seja 0\le r\le3.
Portanto os limites em polares são
\theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}],\qquad r\in[0,3].

Passo 4

Transformar o integrando e o diferencial:
  • Substituindo \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r e dy\,dx = r\,dr\,d\theta, obtemos
15\cdot\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dy\,dx = 15\cdot r \cdot (r\,dr\,d\theta)=15\,r^{2}\,dr\,d\theta.

Passo 5

Escrever a integral em coordenadas polares com os limites já encontrados:
I=\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{0}^{3}15\,r^{2}\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral interna em r:
\int_{0}^{3}15\,r^{2}\,dr = 15\cdot\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{3} = 15\cdot\frac{27}{3}=15\cdot9=135.

Passo 7

Calcular a integral externa em \theta:
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}135\,d\theta = 135\cdot\left[\theta\right]_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} = 135\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{135\pi}{2}.

Resposta

I=\dfrac{135\pi}{2}

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