Para resolver a integral dupla
,
convém utilizar coordenadas polares.
Ao transformar
para polares, obtém-se uma única integral dupla cujos limitantes de integração são:
Além disso, após transformar o integrando, juntamente com o diferencial de área, obtém-se que
Por fim, resolvendo a integral obtida em polares, encontra-se que o valor numérico de
é dado por
convém utilizar coordenadas polares.
Ao transformar
Passo 1
O enunciado dá a integral dupla
O que se pede é:
- Fazer a troca para coordenadas polares e identificar os limites de integração em
e (preencher os colchetes do enunciado); - Transformar o integrando acompanhado do diferencial de área (preencher o quadrado correspondente);
- Calcular numericamente a integral em polares e fornecer o valor final (preencher o último quadrado).
Informações que o enunciado dá e que serão usadas:
- O integrando é
. - As variáveis
e variam conforme e . - A região descrita por essas condições é o conjunto de pontos com
, e .
Passo 2
Lembrete rápido sobre coordenadas polares (aulas práticas!):
- Em coordenadas polares define-se
onde
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
positivo.
- A quantidade
é justamente , pois . - O diferencial de área transforma-se segundo o jacobiano; um elemento pequeno de área
vira . Intuição curta: pequenos arcos geram um fator extra na área.
Passo 3
Determinar a região em polares a partir das desigualdades dadas:
- A condição
implica , ou seja está no intervalo onde o cosseno é não negativo. - A condição
implica . - Juntas, essas duas condições forçam
a estar no primeiro quadrante, logo
- A condição
em coordenadas polares é , ou seja .
Portanto os limites em polares são
Passo 4
Transformar o integrando e o diferencial:
- Substituindo
e , obtemos
Passo 5
Escrever a integral em coordenadas polares com os limites já encontrados:
Passo 6
Calcular a integral interna em
:
Passo 7
Calcular a integral externa em
: