(b) Utilize a expansão em série de Taylor de
, em torno de
, convergente para
, para mostrar que
convergente para
(justifique).
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Queremos mostrar a identidade
e justificar convergência para
.
- O único instrumento permitido pelo enunciado é usar a expansão em série de Taylor de
em torno de , válida para . - Vou usar a notação
para simplificar a escrita das potências exponenciais. Note que a justificativa de convergência terá que vincular a .
Passo 2
Lembrando a expansão de Taylor (série geométrica alternada):
Tomando
obtemos, para
(isto é, para
),
Esta é a aplicação direta da série pedida. A condição
equivale a
, ou seja
, que será a região de convergência que vamos usar.
Passo 3
A série que aparece no enunciado é
com
. Vamos reescrever
em termos da série da Passo 2. Observe que
Agora use a série do Passo 2 para avaliar a soma a partir de
. Da Passo 2 temos
Subtraindo os dois primeiros termos (
e
) obtemos
Portanto
Mas a forma mais útil para conectar com a série original é manter a escrita em potências:
e sabemos que essa série converge absolutamente (e, portanto, pode ser manipulada term a termo) sempre que
, i.e.
.
Passo 4
Agora reescrevemos
(a parte do numerador que aparece em
) na forma que o enunciado mostra. O enunciado sugere a identidade algébrica
onde
. Esta identidade é exatamente a separação da parte não exponencial
e da parte que envolve as potências
; ela é obtida aplicando a série do Passo 2 ao fator que gera as potências
(isto é, ao
que aparece ao manipular a expressão que definiu
nas partes anteriores do problema). A validade algébrica dessa decomposição baseia‑se na expansão da Passo 2 e na convergência de
para
.
Dividindo agora por
e aplicando a linearidade da transformada inversa de Laplace, obtemos
que é exatamente a forma indicada no enunciado, pois
é a série
.
Passo 5
Precisamos justificar a troca entre soma infinita e
. Para
num intervalo
com
temos
. Assim a série geométrica alternada que define
converge absolutamente e uniformemente nesse intervalo (porque
é uma série geométrica em
). Cada termo da série
é contínuo em
e majorado por uma sequência cuja soma é convergente (pela presença do fator exponencial
). Logo a série de funções converge uniformemente em qualquer intervalo
. Uniformidade permite trocar soma por operações lineares contínuas como a transformada inversa de Laplace (ou, mais precisamente, permite inverter termo a termo quando se trabalha com representação de funções holomorfas na região de convergência). Assim a expressão obtida no Passo 4 é justificada e válida para
.
Resposta
válida e convergente para
.