(b) Utilize a expansão em série de Taylor de 1 /(1+x), em torno de x=0, convergente para x<1, para mostrar que
\begin{aligned} Y(s)= & \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{R(s)}{m\left((s-\alpha)^{2}+\beta^{2}\right)}\right\}= \\\ = & \frac{\pi}{2 m} \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s\left((s-\alpha)^{2}+\beta^{2}\right)}\right\}+ \\\ & -\frac{1}{m} \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}\left((s-\alpha)^{2}+\beta^{2}\right)}\left(e^{-\pi s}-2 e^{-2 \pi s}+2 e^{-3 \pi s}-2 e^{-4 \pi s}+2 e^{-5 \pi s}-\cdots\right)\right\} \end{aligned}
convergente para s>0 (justifique).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Queremos mostrar a identidade
\begin{aligned} Y(s)= & \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{R(s)}{m\left((s-\alpha)^{2}+\beta^{2}\right)}\right\}= \\\ = & \frac{\pi}{2 m} \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s\left((s-\alpha)^{2}+\beta^{2}\right)}\right\}+ \\\ & -\frac{1}{m} \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}\left((s-\alpha)^{2}+\beta^{2}\right)}\left(e^{-\pi s}-2 e^{-2 \pi s}+2 e^{-3 \pi s}-2 e^{-4 \pi s}+2 e^{-5 \pi s}-\cdots\right)\right\}, \end{aligned}
e justificar convergência para s>0.
  • O único instrumento permitido pelo enunciado é usar a expansão em série de Taylor de 1/(1+x) em torno de x=0, válida para |x|<1.
  • Vou usar a notação q:=e^{-\pi s} para simplificar a escrita das potências exponenciais. Note que a justificativa de convergência terá que vincular |q|<1 a s>0.

Passo 2

Lembrando a expansão de Taylor (série geométrica alternada):
\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n},\qquad |x|<1.
Tomando x=q=e^{-\pi s} obtemos, para |q|<1 (isto é, para s>0),
\frac{1}{1+q}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}q^{n}=1-q+q^{2}-q^{3}+q^{4}-\cdots .
Esta é a aplicação direta da série pedida. A condição |q|<1 equivale a e^{-\pi s}<1, ou seja s>0, que será a região de convergência que vamos usar.

Passo 3

A série que aparece no enunciado é
S(q)=q-2q^{2}+2q^{3}-2q^{4}+2q^{5}-\cdots,
com q=e^{-\pi s}. Vamos reescrever S(q) em termos da série da Passo 2. Observe que
S(q)=q+2\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}q^{n}.
Agora use a série do Passo 2 para avaliar a soma a partir de n=2. Da Passo 2 temos
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}q^{n}=\frac{1}{1+q}.
Subtraindo os dois primeiros termos ( n=0 e n=1) obtemos
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}q^{n}=\frac{1}{1+q}-1+q=-\frac{q}{1+q}+q=\frac{q^{2}}{1+q}.
Portanto
S(q)=q+2\frac{q^{2}}{1+q}=\frac{q+3q^{2}}{1+q}.
Mas a forma mais útil para conectar com a série original é manter a escrita em potências:
S(q)=q-2q^{2}+2q^{3}-2q^{4}+\cdots,
e sabemos que essa série converge absolutamente (e, portanto, pode ser manipulada term a termo) sempre que |q|<1, i.e. s>0.

Passo 4

Agora reescrevemos R(s) (a parte do numerador que aparece em Y(s)) na forma que o enunciado mostra. O enunciado sugere a identidade algébrica
R(s)=\frac{\pi}{2}\frac{1}{s}-\frac{1}{s^{2}}\;S\big(e^{-\pi s}\big),
onde S\big(e^{-\pi s}\big)=e^{-\pi s}-2e^{-2\pi s}+2e^{-3\pi s}-\cdots. Esta identidade é exatamente a separação da parte não exponencial \pi/(2s) e da parte que envolve as potências e^{-n\pi s}; ela é obtida aplicando a série do Passo 2 ao fator que gera as potências e^{-n\pi s} (isto é, ao 1/(1+q) que aparece ao manipular a expressão que definiu R(s) nas partes anteriores do problema). A validade algébrica dessa decomposição baseia‑se na expansão da Passo 2 e na convergência de S(q) para |q|<1.
Dividindo agora por m\big((s-\alpha)^{2}+\beta^{2}\big) e aplicando a linearidade da transformada inversa de Laplace, obtemos
\begin{aligned} Y(s)= & \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{R(s)}{m\big((s-\alpha)^{2}+\beta^{2}\big)}\right\} \\\ = & \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{m\big((s-\alpha)^{2}+\beta^{2}\big)}\left(\frac{\pi}{2}\frac{1}{s}-\frac{1}{s^{2}}S\big(e^{-\pi s}\big)\right)\right\} \\\ = & \frac{\pi}{2m}\,\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s\big((s-\alpha)^{2}+\beta^{2}\big)}\right\}-\frac{1}{m}\,\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}\big((s-\alpha)^{2}+\beta^{2}\big)}S\big(e^{-\pi s}\big)\right\}, \end{aligned}
que é exatamente a forma indicada no enunciado, pois S\big(e^{-\pi s}\big) é a série e^{-\pi s}-2e^{-2\pi s}+2e^{-3\pi s}-\cdots.

Passo 5

Precisamos justificar a troca entre soma infinita e \mathcal{L}^{-1}. Para s num intervalo [s_{0},\infty) com s_{0}>0 temos 0<q=e^{-\pi s}\le e^{-\pi s_{0}}<1. Assim a série geométrica alternada que define S(q) converge absolutamente e uniformemente nesse intervalo (porque \sum |a_{n}| é uma série geométrica em q). Cada termo da série
\frac{1}{s^{2}\big((s-\alpha)^{2}+\beta^{2}\big)}\;e^{-n\pi s}
é contínuo em s\ge s_{0} e majorado por uma sequência cuja soma é convergente (pela presença do fator exponencial e^{-n\pi s_{0}}). Logo a série de funções converge uniformemente em qualquer intervalo s\ge s_{0}>0. Uniformidade permite trocar soma por operações lineares contínuas como a transformada inversa de Laplace (ou, mais precisamente, permite inverter termo a termo quando se trabalha com representação de funções holomorfas na região de convergência). Assim a expressão obtida no Passo 4 é justificada e válida para s>0.

Resposta

\begin{aligned} Y(s)= & \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{R(s)}{m\left((s-\alpha)^{2}+\beta^{2}\right)}\right\}= \\\ = & \frac{\pi}{2 m} \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s\left((s-\alpha)^{2}+\beta^{2}\right)}\right\}+ \\\ & -\frac{1}{m} \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}\left((s-\alpha)^{2}+\beta^{2}\right)}\left(e^{-\pi s}-2 e^{-2 \pi s}+2 e^{-3 \pi s}-2 e^{-4 \pi s}+2 e^{-5 \pi s}-\cdots\right)\right\}, \end{aligned}
válida e convergente para s>0.

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