(Colégio Naval-84)
\sqrt{3+2 \sqrt[3]{2 \sqrt{2}}}-\sqrt{3-2 \sqrt[3]{2 \sqrt{2}}} é igual a:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5

Passo 1

O problema pede para avaliar o valor numérico da expressão
\sqrt{3+2 \sqrt[3]{2 \sqrt{2}}}-\sqrt{3-2 \sqrt[3]{2 \sqrt{2}}}.
Informações dadas: a expressão contém raízes quadradas e uma raiz cúbica aninhada com 2 e \sqrt{2}. O objetivo é simplificar essa expressão e identificar qual das alternativas (A)–(E) corresponde ao resultado.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a raiz cúbica interna \sqrt[3]{2\sqrt{2}}. Para isso é útil escrever potências de 2 em forma de expoentes racionais e usar a regra de potências
(a^m)^n = a^{mn}.
Note que
2\sqrt{2}=2\cdot 2^{1/2}=2^{1+1/2}=2^{3/2}.
Logo
\sqrt[3]{2\sqrt{2}}=\left(2^{3/2}\right)^{1/3}=2^{(3/2)\cdot(1/3)}=2^{1/2}=\sqrt{2}.
Então a raiz cúbica simplifica exatamente para \sqrt{2}.

Passo 3

Substituindo esse resultado na expressão original, obtemos
\sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{3-2\sqrt{2}}.
Agora vamos ver se podemos reconhecer \sqrt{3\pm 2\sqrt{2}} como quadrados perfeitos de expressões simples. Uma boa tentativa é testar \left(\sqrt{2}+1\right)^2 e \left(\sqrt{2}-1\right)^2.

Passo 4

Calculemos as expansões usando a fórmula do quadrado da soma/subtração:
\left(\sqrt{2}+1\right)^2=(\sqrt{2})^2+2\cdot\sqrt{2}\cdot 1+1^2=2+2\sqrt{2}+1=3+2\sqrt{2},
\left(\sqrt{2}-1\right)^2=(\sqrt{2})^2-2\cdot\sqrt{2}\cdot 1+1^2=2-2\sqrt{2}+1=3-2\sqrt{2}.
Portanto
\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{2}+1, \qquad \sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1,
pois ambas as raízes quadradas são de números positivos e tomamos as raízes principais (não-negativas).

Passo 5

Substituindo essas identidades na expressão original:
\sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{3-2\sqrt{2}}=(\sqrt{2}+1)-(\sqrt{2}-1)=2.
Como verificação rápida, numericamente \sqrt{2}\approx1,414, então (1,414+1)-(1,414-1)=2, consistente com o cálculo simbólico.

Resposta

(B) 2

Exercícios relacionados