Resolva as seguintes equações diferenciais:
y^{\prime \prime}=y^{\prime} \ln \left(y^{\prime}\right).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' = y' \ln\!\big(y'\big).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • É uma equação diferencial de segunda ordem (a incógnita é y(x)).
  • A equação envolve \ln\!\big(y'\big), portanto devemos trabalhar em regiões onde y'(x)>0 (para que o logaritmo natural esteja definido).
  • Queremos a solução geral (duas constantes arbitrárias), válida nas regiões onde a equação faz sentido.

Passo 2

Redução de ordem: como a equação envolve apenas y' e y'' (não aparece y explicitamente), é natural fazer a substituição
p(x) := y'(x).
Então p'(x)=y''(x) e a equação fica em p:
p' = p \ln p.
Isto é agora uma equação diferencial de primeira ordem para p(x). O problema foi reduzido de segunda ordem para primeira ordem — técnica padrão quando a variável y não aparece explicitamente.

Passo 3

Resolver a equação de primeira ordem p' = p \ln p. É uma equação separável: podemos escrever
\frac{dp}{p \ln p} = dx.
Observação sobre domínio: nesta manipulação usamos divisão por p e por \ln p, então é necessário p>0 e p\neq 1 durante a integração; o caso p=1 será tratado separadamente (é uma solução constante possível).

Passo 4

Integral do lado esquerdo. Fazemos a substituição u=\ln p. Então du = \dfrac{dp}{p}. Assim
\int \frac{dp}{p \ln p} = \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C_1 = \ln\big|\ln p\big| + C_1.
Igualando à integral do lado direito obtemos
\ln\big|\ln p\big| = x + C_1.
Exponenciando:
\big|\ln p\big| = e^{x+C_1} = C_2 e^{x},\qquad C_2>0.
Podemos combinar o sinal e a constante em uma constante C (real, podendo ser zero): escrever
\ln p = C e^{x},
onde C\in\mathbb{R}. Note que o caso C=0 corresponde a \ln p=0\Rightarrow p=1 (solução constante do passo anterior).

Passo 5

Isolando p obtemos
p(x)=y'(x)=\exp\!\big(C e^{x}\big).
Isto dá uma família de soluções para a derivada primeira y'. Como \exp(\cdot)>0, a condição y'>0 está satisfeita automaticamente.

Passo 6

Agora integramos para obter y. Precisamos calcular
y(x)=\int y'(x)\,dx + D = \int \exp\!\big(C e^{x}\big)\,dx + D,
onde D é uma constante de integração. Fazer a substituição u = C e^{x} (logo du = C e^{x} dx = u\,dx, então dx = du/u) transforma a integral em
\int \exp(u)\,\frac{du}{u} = \int \frac{e^{u}}{u}\,du.
A primitiva \int \dfrac{e^{u}}{u}\,du não tem expressão elementar; ela é a função integral exponencial \operatorname{Ei}(u), cuja derivada é \dfrac{d}{du}\operatorname{Ei}(u)=\dfrac{e^{u}}{u}. Assim
y(x)=\operatorname{Ei}\big(C e^{x}\big) + D,
válido para C\neq 0. (Se C=0, a integral reduz a \int 1\,dx = x, caso tratado a seguir.)

Passo 7

Caso especial C=0: se C=0 então y'(x)=\exp(0)=1 e, integrando,
y(x)=x + D,
que de fato satisfaz a equação original porque y''=0 e y'\ln(y')=1\cdot\ln1=0.

Passo 8

Verificação breve (consistência): para a solução y(x)=\operatorname{Ei}\big(C e^{x}\big)+D tem-se
y'(x)=\exp\big(C e^{x}\big),\qquad y''(x)=C e^{x}\exp\big(C e^{x}\big).
Calculando y'\ln(y') obtemos
y'(x)\ln\!\big(y'(x)\big)=\exp\big(C e^{x}\big)\cdot \big(C e^{x}\big)=C e^{x}\exp\big(C e^{x}\big)=y''(x),
portanto a solução é correta. Para C=0 já checamos que y=x+D funciona.

Resposta

y(x)=\operatorname{Ei}\big(C e^{x}\big)+D,\; C\in\mathbb{R}\setminus\{0\},\; D\in\mathbb{R}.\n
y(x)=x+D,\; D\in\mathbb{R} (caso especial correspondente a C=0).

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