Resolva as seguintes equações diferenciais: y^{\prime \prime}=y^{\prime} \ln \left(y^{\prime}\right).
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' = y' \ln\!\big(y'\big).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
É uma equação diferencial de segunda ordem (a incógnita é y(x)).
A equação envolve \ln\!\big(y'\big), portanto devemos trabalhar em regiões onde y'(x)>0 (para que o logaritmo natural esteja definido).
Queremos a solução geral (duas constantes arbitrárias), válida nas regiões onde a equação faz sentido.
Passo 2
Redução de ordem: como a equação envolve apenas y' e y'' (não aparece y explicitamente), é natural fazer a substituição
p(x) := y'(x).
Então p'(x)=y''(x) e a equação fica em p:
p' = p \ln p.
Isto é agora uma equação diferencial de primeira ordem para p(x). O problema foi reduzido de segunda ordem para primeira ordem — técnica padrão quando a variável y não aparece explicitamente.
Passo 3
Resolver a equação de primeira ordem p' = p \ln p. É uma equação separável: podemos escrever
\frac{dp}{p \ln p} = dx.
Observação sobre domínio: nesta manipulação usamos divisão por p e por \ln p, então é necessário p>0 e p\neq 1 durante a integração; o caso p=1 será tratado separadamente (é uma solução constante possível).
Passo 4
Integral do lado esquerdo. Fazemos a substituição u=\ln p. Então du = \dfrac{dp}{p}. Assim
A primitiva \int \dfrac{e^{u}}{u}\,du não tem expressão elementar; ela é a função integral exponencial \operatorname{Ei}(u), cuja derivada é \dfrac{d}{du}\operatorname{Ei}(u)=\dfrac{e^{u}}{u}. Assim
y(x)=\operatorname{Ei}\big(C e^{x}\big) + D,
válido para C\neq 0. (Se C=0, a integral reduz a \int 1\,dx = x, caso tratado a seguir.)
Passo 7
Caso especial C=0: se C=0 então y'(x)=\exp(0)=1 e, integrando,
y(x)=x + D,
que de fato satisfaz a equação original porque y''=0 e y'\ln(y')=1\cdot\ln1=0.
Passo 8
Verificação breve (consistência): para a solução y(x)=\operatorname{Ei}\big(C e^{x}\big)+D tem-se