Um colégio possui duas salas, A e B, de determinada série. Na sala A, estudam 20 alunos e na B, 30 alunos. Dois amigos, Pedro e João, estudam na sala A. Um aluno é sorteado da sala A e transferido para a sala B. Posteriormente, um aluno é sorteado e transferido da sala B para a sala A.
Qual a probabilidade, no final das transferências, de os amigos ficarem na mesma sala?

Passo 1

Resumo da questão: num colégio há duas salas, A com 20 alunos (incluindo Pedro e João) e B com 30 alunos. Aí fazemos duas transferências em sequência: 1) um aluno sorteado de A vai para B; 2) um aluno sorteado de B volta para A. Queremos a probabilidade de, ao fim dessas duas trocas, Pedro e João estarem na mesma sala.
Conteúdo: probabilidade condicional e regra da probabilidade total. Vamos precisar dividir o problema em casos (se na primeira transferência saiu um dos amigos ou não) e usar:
- Probabilidade condicional: P(Xmid Y)=dfracP(Xcap Y)P(Y).
- Regra da probabilidade total: P(E)=sumi P(Emid Ci),P(Ci), onde (Ci) é uma partição do espaço.

Passo 2

Definimos dois casos (o que vai acontecer na primeira transferência):
Caso 1: sai um dos amigos (Pedro ou João) de A para B.
Caso 2: sai um aluno qualquer que não seja amigo.
Vamos calcular, em cada caso, a probabilidade de eles ficarem juntos ao final.

Passo 3

Cálculo do Caso 1
Probabilidade de, na 1ª transferência, sair um dos amigos:
P(amigo sai 1ª)=220=110ª
Depois dessa transferência, em A ficam 19 alunos com 1 amigo; em B ficam 31 alunos com 1 amigo. Para os dois ficarem juntos, na 2ª transferência (de B para A) precisamos retirar exatamente o amigo que está em B (assim ele volta para A e ambos ficam juntos em A).
P(voª
Então, pela regra da totalização:
$$P(juntos\cap Caso 1)=P(amigo sai 1ª)\times P(voltando amigo\mid amigo saiu 1ª)
=\frac{1}{10}\times\frac{1}{31}=\frac{1}{310}.$$

Passo 4

Cálculo do Caso 2
Probabilidade de, na 1ª transferência, sair um não-amigo:
P(não-amigo sai 1ª)=1820=910ãª
Nesse cenário, os dois amigos continuam em A (que agora tem 19 alunos: só não-amigos foram removidos). Em B há 31 não-amigos. Na 2ª transferência, quem sai de B para A é necessariamente um não-amigo (já que não há amigos em B), então os dois amigos seguem juntos em A com probabilidade 1.
P(juntosmid não-amigo sai 1ª)=1,ãª
e
P(juntoscap Caso 2)=910times1=910

Passo 5

Somamos as contribuições dos dois casos (regra da probabilidade total):
P(juntos)=P(juntoscap Caso 1)+P(juntoscap Caso 2) =1310+910 =1310+279310 =280310 =2831

Resposta

A probabilidade de, ao final das duas transferências, Pedro e João estarem na mesma sala é 2831approx0,9032, (cerca de 90,32%).

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