Um colégio tem 1000 alunos. Destes:
200 estudam Matemática
180 estudam Física
200 estudam Química
20 estudam Matemática, Física e Química
50 estudam Física e Química
70 estudam somente Química
50 estudam Matemática e Física.
Um aluno do colégio é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de:
a) ele estudar só Matemática?
b) ele estudar só Física?
c) ele estudar Matemática e Química?

Passo 1

O enunciado dá informações sobre quantos alunos (de um colégio com 1000 alunos) fazem cada disciplina e interseções. As perguntas são:
a) qual a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso estudar só Matemática?
b) qual a probabilidade de estudar só Física?
c) qual a probabilidade de estudar Matemática e Química (ou seja, estudar ambas; pode incluir também os que estudam as três)?
Dados fornecidos:
  • Número total de alunos: 1000.
  • n(M)=200 (estudam Matemática).
  • n(F)=180 (estudam Física).
  • n(Q)=200 (estudam Química).
  • n(M\cap F\cap Q)=20 (estudam as três).
  • n(F\cap Q)=50 (estudam Física e Química; este valor inclui os que estudam as três).
  • n(\text{somente }Q)=70 (estudam somente Química).
  • n(M\cap F)=50 (estudam Matemática e Física; este valor inclui os que estudam as três).

Passo 2

Vou definir notação clara para as regiões do diagrama de Venn (três conjuntos):
  • n(\text{somente }M): número que estudam só Matemática.
  • n(\text{somente }F): número que estudam só Física.
  • n(\text{somente }Q)=70 (dado).
  • n(M\cap F\\ \text{só})ó: estudam M e F, mas não Q.
  • n(M\cap Q\\ \text{só})ó: estudam M e Q, mas não F.
  • n(F\cap Q\\ \text{só})ó: estudam F e Q, mas não M.
  • n(M\cap F\cap Q)=20 (dado).
Importante: quando o enunciado informa n(M\cap F)=50, isso é a soma de n(M\cap F\\ \text{só})ó com n(M\cap F\cap Q). Mesmo para n(F\cap Q).
Vou usar a ideia básica de contagem em conjuntos: cada total de uma disciplina é a soma das partes disjuntas que chegam nela. Por exemplo:
n(Q)=n(\text{somente }Q)+n(M\cap Q\\ \text{só})+n(F\cap Q\\ \text{só})+n(M\cap F\cap Q).óó

Passo 3

Primeiro encontro n(F\cap Q\\ \text{só})ó. Como n(F\cap Q)=50 e isso inclui a tripla:
n(F\cap Q\\ \text{só}) = n(F\cap Q)-n(M\cap F\cap Q)=50-20=30.ó
Agora uso a equação do passo anterior para n(Q). Substituindo n(\text{somente }Q)=70, n(F\cap Q\\ \text{só})=30ó e n(M\cap F\cap Q)=20:
200 = n(\text{somente }Q) + n(M\cap Q\\ \text{só}) + n(F\cap Q\\ \text{só}) + n(M\cap F\cap Q).óó
200 = 70 + n(M\cap Q\\ \text{só}) + 30 + 20.ó
Agora resolvo para n(M\cap Q\\ \text{só})ó:
n(M\cap Q\\ \text{só}) = 200 - (70+30+20) = 200 - 120 = 80.ó
Portanto a parte que estuda exatamente M e Q (mas não F) é 80. A interseção total M\cap Q (incluindo a tripla) é:
n(M\cap Q) = n(M\cap Q\\ \text{só}) + n(M\cap F\cap Q) = 80 + 20 = 100.ó

Passo 4

Agora calculo n(M\cap F\\ \text{só})ó (já que n(M\cap F)=50 e a tripla é 20):
n(M\cap F\\ \text{só}) = 50 - 20 = 30.ó
Com isso posso achar n(\text{somente }M). Usando a decomposição de n(M):
n(M)=n(\text{somente }M)+n(M\cap F\\ \text{só})+n(M\cap Q\\ \text{só})+n(M\cap F\cap Q).óó
Substituindo números:
200 = n(\text{somente }M) + 30 + 80 + 20.
n(\text{somente }M) = 200 - (30+80+20) = 200 - 130 = 70.
Logo n(\text{somente }M)=70.

Passo 5

Agora n(\text{somente }F). Decompondo n(F):
n(F)=n(\text{somente }F)+n(M\cap F\\ \text{só})+n(F\cap Q\\ \text{só})+n(M\cap F\cap Q).óó
Substituindo os valores que já achamos:
180 = n(\text{somente }F) + 30 + 30 + 20.
n(\text{somente }F) = 180 - (30+30+20) = 180 - 80 = 100.
Portanto n(\text{somente }F)=100.

Passo 6

Resumo dos resultados em contagens (partes disjuntas importantes que usamos):
  • n(\text{somente }M)=70.
  • n(\text{somente }F)=100.
  • n(\text{somente }Q)=70 (dado).
  • n(M\cap Q)=100 (obtido no Passo 3; inclui os 20 da tripla).
Verificação rápida (opcional mental): a soma das 7 regiões do diagrama dá 400, restando 600 que não cursam nenhuma das três — isso é aceitável e coerente com os dados.

Passo 7

Transformo contagens em probabilidades. A regra básica: probabilidade de um evento é \dfrac{\text{número de casos favoráveis}}{\text{total de casos}}úá. Aqui o total é 1000.
a) Probabilidade de estudar só Matemática:
P(\text{somente }M)=\dfrac{n(\text{somente }M)}{1000}=\dfrac{70}{1000}=0{,}07.
b) Probabilidade de estudar só Física:
P(\text{somente }F)=\dfrac{n(\text{somente }F)}{1000}=\dfrac{100}{1000}=0{,}10.
c) Probabilidade de estudar Matemática e Química (ambas; inclui quem estuda as três):
P(M\cap Q)=\dfrac{n(M\cap Q)}{1000}=\dfrac{100}{1000}=0{,}10.

Resposta

a) 0{,}07
b) 0{,}10
c) 0{,}10

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