Um colégio tem 1000 alunos. Destes:
200 estudam Matemática
180 estudam Física
200 estudam Química
20 estudam Matemática, Física e Química
50 estudam Física e Química
70 estudam somente Química
50 estudam Matemática e Física.
Um aluno do colégio é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de:
a) ele estudar só Matemática?
b) ele estudar só Física?
c) ele estudar Matemática e Química?
180 estudam Física
200 estudam Química
20 estudam Matemática, Física e Química
50 estudam Física e Química
70 estudam somente Química
50 estudam Matemática e Física.
Um aluno do colégio é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de:
a) ele estudar só Matemática?
b) ele estudar só Física?
c) ele estudar Matemática e Química?
Passo 1
O enunciado dá informações sobre quantos alunos (de um colégio com 1000 alunos) fazem cada disciplina e interseções. As perguntas são:
a) qual a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso estudar só Matemática?
b) qual a probabilidade de estudar só Física?
c) qual a probabilidade de estudar Matemática e Química (ou seja, estudar ambas; pode incluir também os que estudam as três)?
a) qual a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso estudar só Matemática?
b) qual a probabilidade de estudar só Física?
c) qual a probabilidade de estudar Matemática e Química (ou seja, estudar ambas; pode incluir também os que estudam as três)?
Dados fornecidos:
- Número total de alunos:
. -
(estudam Matemática). -
(estudam Física). -
(estudam Química). -
(estudam as três). -
(estudam Física e Química; este valor inclui os que estudam as três). -
(estudam somente Química). -
(estudam Matemática e Física; este valor inclui os que estudam as três).
Passo 2
Vou definir notação clara para as regiões do diagrama de Venn (três conjuntos):
-
: número que estudam só Matemática. -
: número que estudam só Física. -
(dado). -
: estudam M e F, mas não Q. -
: estudam M e Q, mas não F. -
: estudam F e Q, mas não M. -
(dado).
Importante: quando o enunciado informa
, isso é a soma de
com
. Mesmo para
.
Vou usar a ideia básica de contagem em conjuntos: cada total de uma disciplina é a soma das partes disjuntas que chegam nela. Por exemplo:
Passo 3
Primeiro encontro
. Como
e isso inclui a tripla:
Agora uso a equação do passo anterior para
. Substituindo
,
e
:
Agora resolvo para
:
Portanto a parte que estuda exatamente M e Q (mas não F) é
. A interseção total
(incluindo a tripla) é:
Passo 4
Agora calculo
(já que
e a tripla é
):
Com isso posso achar
. Usando a decomposição de
:
Substituindo números:
Logo
.
Passo 5
Agora
. Decompondo
:
Substituindo os valores que já achamos:
Portanto
.
Passo 6
Resumo dos resultados em contagens (partes disjuntas importantes que usamos):
-
. -
. -
(dado). -
(obtido no Passo 3; inclui os 20 da tripla).
Verificação rápida (opcional mental): a soma das 7 regiões do diagrama dá
, restando
que não cursam nenhuma das três — isso é aceitável e coerente com os dados.
Passo 7
Transformo contagens em probabilidades. A regra básica: probabilidade de um evento é
. Aqui o total é
.
a) Probabilidade de estudar só Matemática:
b) Probabilidade de estudar só Física:
c) Probabilidade de estudar Matemática e Química (ambas; inclui quem estuda as três):
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)