Com os dígitos
, quantos arranjos desses dígitos tomados 4 a 4 têm o dígito 1 antes do 4 ?
Passo 1
O enunciado dá os dígitos
e pede: quantos arranjos (ou seja, sequências ordenadas sem repetição) de comprimento
formados a partir desses dígitos têm o dígito
antes do dígito
?\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Os arranjos são de
elementos, tomados dos dígitos disponíveis. - Em cada arranjo os dígitos são todos distintos (não há repetição).
- A condição a cumprir é que o dígito
apareça em posição anterior à do dígito dentro do arranjo. - Deve-se contar o número de arranjos que satisfazem essa condição.
Passo 2
Vamos lembrar uma fórmula básica: o número de arranjos (permutations) de
objetos distintos escolhidos de um total de
objetos (sem repetição) é
onde
denota fatorial, isto é,
. Aqui
é o total disponível e
é o tamanho do arranjo.
Para referência, o número total de arranjos de dígitos escolhidos de
é
Para referência, o número total de arranjos de
Esse é o total de arranjos sem qualquer restrição.
Passo 3
Observação lógica importante: um arranjo só pode satisfazer "o dígito
antes do
" se ambos os dígitos
e
estiverem presentes nesse arranjo. Arranjos que não contenham um deles não podem satisfazer a condição. Portanto vamos primeiro contar quantos arranjos de comprimento
contêm ambos
e
.
Para contar arranjos que contêm ambos:
- Já fixamos que dois dos elementos do arranjo são
e . - Precisamos escolher os outros
dígitos a partir dos dígitos restantes ( ). O número de escolhas é
- Depois de escolher os
dígitos (que incluem e mais dois outros), podemos ordená-los de todas as formas possíveis: ordens para cada escolha de conjunto.
Portanto o número de arranjos que contêm ambose é
Passo 4
Agora precisamos apenas daqueles em que
vem antes de
. Aqui entra um argumento de simetria muito útil e simples: entre os
arranjos que contêm ambos
e
, para cada arranjo em que
vem antes de
existe exatamente um arranjo idêntico exceto pelas posições trocadas de
e
, em que
vem antes de
. Assim metade dos
terá
antes de
. Logo
Passo 5
Checagem alternativa (mesma resposta por contagem direta): escolha duas posições entre as
disponíveis para colocar
e
. Há
formas de escolher essas posições; em cada escolha colocamos
na posição anterior e
na posterior (uma única forma para a ordem desejada). Nas duas posições restantes colocamos dois dígitos distintos escolhidos e permutados a partir dos
dígitos restantes, o que pode ser feito de
maneiras. Multiplicando:
confirmando o resultado anterior.
Resposta
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