Com os dígitos 1,2,3,4,5,6, quantos arranjos desses dígitos tomados 4 a 4 têm o dígito 1 antes do 4 ?

Passo 1

O enunciado dá os dígitos \{1,2,3,4,5,6\} e pede: quantos arranjos (ou seja, sequências ordenadas sem repetição) de comprimento \,4 formados a partir desses dígitos têm o dígito \,1 antes do dígito \,4?\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os arranjos são de 4 elementos, tomados dos 6 dígitos disponíveis.
  • Em cada arranjo os dígitos são todos distintos (não há repetição).
  • A condição a cumprir é que o dígito \,1 apareça em posição anterior à do dígito \,4 dentro do arranjo.
  • Deve-se contar o número de arranjos que satisfazem essa condição.

Passo 2

Vamos lembrar uma fórmula básica: o número de arranjos (permutations) de k objetos distintos escolhidos de um total de n objetos (sem repetição) é
P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!},
onde ! denota fatorial, isto é, m!=m\cdot(m-1)\cdots2\cdot1. Aqui n é o total disponível e k é o tamanho do arranjo.
Para referência, o número total de arranjos de 4 dígitos escolhidos de 6 é
P(6,4)=\frac{6!}{(6-4)!}=\frac{6!}{2!}=360.
Esse é o total de arranjos sem qualquer restrição.

Passo 3

Observação lógica importante: um arranjo só pode satisfazer "o dígito \,1 antes do \,4" se ambos os dígitos \,1 e \,4 estiverem presentes nesse arranjo. Arranjos que não contenham um deles não podem satisfazer a condição. Portanto vamos primeiro contar quantos arranjos de comprimento \,4 contêm ambos \,1 e \,4.
Para contar arranjos que contêm ambos:
  • Já fixamos que dois dos elementos do arranjo são \,1 e \,4.
  • Precisamos escolher os outros 2 dígitos a partir dos 4 dígitos restantes ( \,2,3,5,6). O número de escolhas é
\binom{4}{2}=6.
  • Depois de escolher os 4 dígitos (que incluem \,1 e \,4 mais dois outros), podemos ordená-los de todas as formas possíveis: 4! ordens para cada escolha de conjunto.
    Portanto o número de arranjos que contêm ambos \,1 e \,4 é
6\cdot 4! = 6\cdot 24 = 144.

Passo 4

Agora precisamos apenas daqueles em que \,1 vem antes de \,4. Aqui entra um argumento de simetria muito útil e simples: entre os 144 arranjos que contêm ambos \,1 e \,4, para cada arranjo em que \,1 vem antes de \,4 existe exatamente um arranjo idêntico exceto pelas posições trocadas de \,1 e \,4, em que \,4 vem antes de \,1. Assim metade dos 144 terá \,1 antes de \,4. Logo
\frac{144}{2}=72.

Passo 5

Checagem alternativa (mesma resposta por contagem direta): escolha duas posições entre as 4 disponíveis para colocar \,1 e \,4. Há \binom{4}{2}=6 formas de escolher essas posições; em cada escolha colocamos \,1 na posição anterior e \,4 na posterior (uma única forma para a ordem desejada). Nas duas posições restantes colocamos dois dígitos distintos escolhidos e permutados a partir dos 4 dígitos restantes, o que pode ser feito de P(4,2)=4\cdot3=12 maneiras. Multiplicando:
6\cdot 12 = 72,
confirmando o resultado anterior.

Resposta

72

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