Uma coleta de dados de produção diária de uma planta industrial revelou os seguintes valores:
a) A variável observada é quantitativa ou qualitativa? É nominal ou ordinal? Justifique sua resposta.
b) Determine a média amostral
, mediana
e os quartis inferior
e superior
;
c) Determine a variância amostral
dos dados e o seu desvio padrão (s);
a) A variável observada é quantitativa ou qualitativa? É nominal ou ordinal? Justifique sua resposta.
b) Determine a média amostral
c) Determine a variância amostral
Passo 1
O enunciado dá a série de observações da produção diária:
As perguntas são:
- (a) A variável observada é quantitativa ou qualitativa? É nominal ou ordinal? (justificar)
- (b) Calcular a média amostral
, a mediana e os quartis inferior e superior . - (c) Calcular a variância amostral e o desvio padrão amostral
.
Dados relevantes: há
observações (já ordenadas) e todos os valores são números inteiros representando unidades produzidas por dia.
Passo 2
Explicando o que cada pedido significa (aula rápida e sem pressa):
- Uma variável quantitativa é aquela que assume valores numéricos e em que faz sentido somar, tirar média e medir distância entre valores. Uma qualitativa descreve categorias (cores, tipos, etc.).
- “Nominal” e “ordinal” são escalas usadas para variáveis qualitativas: nominal = categorias sem ordem; ordinal = categorias com ordem, mas sem diferenças numéricas bem definidas entre categorias.
- Aqui temos números que representam contagens de unidades produzidas; portanto faz sentido fazer operações aritméticas (média, variância). Logo é uma variável quantitativa. Como é contagem inteira, é do tipo quantitativa discreta. Além disso, tem escala de razão (há zero absoluto e razões fazem sentido: por exemplo,
é o dobro de ).
Passo 3
Cálculo da média amostral
(fórmula e interpretação):
- Fórmula da média amostral:
onde
são as observações e
é o tamanho da amostra.
- Aqui
. Somamos todas as observações:
- Então
Interpretação prática: o valor médio de produção por dia, neste conjunto, é
unidades.
Passo 4
Cálculo da mediana
(fórmula e método):
- A mediana é o valor central quando os dados estão ordenados. Para
ímpar, a mediana é a observação na posição . - Aqui
, então posição da mediana é . - Listando as observações por posição:
1:, 2: , 3: , 4: , 5: , 6: , 7: , 8: , 9: , 10: , 11: . - A 6ª observação é
. Portanto
Passo 5
Cálculo dos quartis
e
(definição, escolha de método e aplicação):
- Existem várias convenções para computar quartis; uma prática comum (e simples) usada em cursos básicos é:
- Para
ímpar, exclui-se a mediana e divide-se os dados em duas metades de tamanho . -
é a mediana da metade inferior; é a mediana da metade superior.
- Para
- Aplicando isso: como
, a mediana é a 6ª observação (já encontrada). A metade inferior são as primeiras 5 observações:
A metade superior são as últimas 5 observações:
- Em cada metade (5 valores), o quartil corresponde ao elemento central (3ª posição).
- Na metade inferior, a 3ª observação é
. Logo
- Na metade superior, a 3ª observação é
. Logo
- Na metade inferior, a 3ª observação é
(Observação: outros métodos dão resultados próximos; escolhi este por ser o método didaticamente mais direto e frequentemente usado em provas.)
Passo 6
Preparação para calcular a variância amostral: conceito e fórmula
- A variância amostral (estimador não viciado) mede a dispersão das observações em torno da média e usa divisor
(correção de Bessel). A fórmula é:
onde
é a média amostral e
o número de observações.
- O desvio padrão amostral é
- Aqui
e , logo usaremos divisor .
Passo 7
Cálculo explícito das diferenças ao quadrado e soma:
- Para cada observação
, calcule e :
- Somando os quadrados das diferenças:
Passo 8
Cálculo final da variância amostral e do desvio padrão:
- Variância amostral:
- Desvio padrão amostral:
(Interpretação: em média, a produção diária difere da média por cerca de
unidades.)
Resposta
a) Quantitativa discreta (escala de razão); não é nominal nem ordinal.\n
b) ,
,
,
.\n
c) e
.
b)
c)