Uma coleta de dados de produção diária de uma planta industrial revelou os seguintes valores: [3,3,4,5,6,6,6,7,8,9,9]
a) A variável observada é quantitativa ou qualitativa? É nominal ou ordinal? Justifique sua resposta.
b) Determine a média amostral (\bar{x}), mediana (\widehat{x}) e os quartis inferior \left(q_{1}\right) e superior \left(q_{3}\right);
c) Determine a variância amostral \left(s^{3}\right) dos dados e o seu desvio padrão (s);

Passo 1

O enunciado dá a série de observações da produção diária:
[3,3,4,5,6,6,6,7,8,9,9]
As perguntas são:
  1. (a) A variável observada é quantitativa ou qualitativa? É nominal ou ordinal? (justificar)
  2. (b) Calcular a média amostral \bar{x}, a mediana \widehat{x} e os quartis inferior \left(q_{1}\right) e superior \left(q_{3}\right).
  3. (c) Calcular a variância amostral e o desvio padrão amostral s.
Dados relevantes: há n=11 observações (já ordenadas) e todos os valores são números inteiros representando unidades produzidas por dia.

Passo 2

Explicando o que cada pedido significa (aula rápida e sem pressa):
  • Uma variável quantitativa é aquela que assume valores numéricos e em que faz sentido somar, tirar média e medir distância entre valores. Uma qualitativa descreve categorias (cores, tipos, etc.).
  • “Nominal” e “ordinal” são escalas usadas para variáveis qualitativas: nominal = categorias sem ordem; ordinal = categorias com ordem, mas sem diferenças numéricas bem definidas entre categorias.
  • Aqui temos números que representam contagens de unidades produzidas; portanto faz sentido fazer operações aritméticas (média, variância). Logo é uma variável quantitativa. Como é contagem inteira, é do tipo quantitativa discreta. Além disso, tem escala de razão (há zero absoluto e razões fazem sentido: por exemplo, 8 é o dobro de 4).

Passo 3

Cálculo da média amostral \bar{x} (fórmula e interpretação):
  • Fórmula da média amostral:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde x_i são as observações e n é o tamanho da amostra.
  • Aqui n=11. Somamos todas as observações:
\sum_{i=1}^{11} x_i = 3+3+4+5+6+6+6+7+8+9+9 = 66.
  • Então
\bar{x}=\frac{66}{11}=6.
Interpretação prática: o valor médio de produção por dia, neste conjunto, é 6 unidades.

Passo 4

Cálculo da mediana \widehat{x} (fórmula e método):
  • A mediana é o valor central quando os dados estão ordenados. Para n ímpar, a mediana é a observação na posição \frac{n+1}{2}.
  • Aqui n=11, então posição da mediana é \frac{11+1}{2}=6.
  • Listando as observações por posição:
    1: 3, 2: 3, 3: 4, 4: 5, 5: 6, 6: 6, 7: 6, 8: 7, 9: 8, 10: 9, 11: 9.
  • A 6ª observação é 6. Portanto
\widehat{x}=6.

Passo 5

Cálculo dos quartis q_1 e q_3 (definição, escolha de método e aplicação):
  • Existem várias convenções para computar quartis; uma prática comum (e simples) usada em cursos básicos é:
    • Para n ímpar, exclui-se a mediana e divide-se os dados em duas metades de tamanho \frac{n-1}{2}.
    • q_1 é a mediana da metade inferior; q_3 é a mediana da metade superior.
  • Aplicando isso: como n=11, a mediana é a 6ª observação (já encontrada). A metade inferior são as primeiras 5 observações:
[3,3,4,5,6]
A metade superior são as últimas 5 observações:
[6,7,8,9,9]
  • Em cada metade (5 valores), o quartil corresponde ao elemento central (3ª posição).
    • Na metade inferior, a 3ª observação é 4. Logo
    q_1 = 4.
    • Na metade superior, a 3ª observação é 8. Logo
    q_3 = 8.
(Observação: outros métodos dão resultados próximos; escolhi este por ser o método didaticamente mais direto e frequentemente usado em provas.)

Passo 6

Preparação para calcular a variância amostral: conceito e fórmula
  • A variância amostral (estimador não viciado) mede a dispersão das observações em torno da média e usa divisor n-1 (correção de Bessel). A fórmula é:
s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2,
onde \bar{x} é a média amostral e n o número de observações.
  • O desvio padrão amostral é
s=\sqrt{s^2}.
  • Aqui \bar{x}=6 e n=11, logo usaremos divisor n-1=10.

Passo 7

Cálculo explícito das diferenças ao quadrado e soma:
  • Para cada observação x_i, calcule x_i-\bar{x} e (x_i-\bar{x})^2:
\begin{array}{c|c|c} x_i & x_i-\bar{x} & (x_i-\bar{x})^2\\hline 3 & -3 & 9\\\\ 3 & -3 & 9\\\\ 4 & -2 & 4\\\\ 5 & -1 & 1\\\\ 6 & 0 & 0\\\\ 6 & 0 & 0\\\\ 6 & 0 & 0\\\\ 7 & 1 & 1\\\\ 8 & 2 & 4\\\\ 9 & 3 & 9\\\\ 9 & 3 & 9 \end{array}
  • Somando os quadrados das diferenças:
\sum_{i=1}^{11}(x_i-\bar{x})^2 = 9+9+4+1+0+0+0+1+4+9+9 = 46.

Passo 8

Cálculo final da variância amostral e do desvio padrão:
  • Variância amostral:
s^2 = \frac{46}{n-1} = \frac{46}{10} = 4,6.
  • Desvio padrão amostral:
s=\sqrt{4,6}\approx 2,1448.
(Interpretação: em média, a produção diária difere da média por cerca de 2,14 unidades.)

Resposta

a) Quantitativa discreta (escala de razão); não é nominal nem ordinal.\n
b) \bar{x}=6, \widehat{x}=6, q_{1}=4, q_{3}=8.\n
c) s^{2}=4,6 e s\approx2,1448.

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