Usuários de uma rede de transmissão de energia elétrica têm reclamado da alta variação na tensão (desvio padrão de 12 V ). A empresa encarregada da transmissão de energia elétrica na região instalou novos transformadores. O desvio padrão calculado sobre 30 observações independentes foi de 10 V . Há evidência de redução na variação da tensão? Use o nível de significância de 5 \%. Se necessário, apresente as suposições teóricas usadas para resolver o problema.

Passo 1

O enunciado pergunta se, com nível de significância de 5\%, há evidência de que a instalação dos novos transformadores reduziu a variação (desvio padrão) da tensão. Dados fornecidos:
  • desvio padrão histórico (prévia reclamação): \sigma_0 = 12 V;
  • número de observações: n = 30;
  • desvio padrão amostral calculado após a troca: s = 10 V;
  • nível de significância: \alpha = 0,05;
  • as 30 observações são indicadas como independentes (isto foi dado pelo enunciado).

Passo 2

Formulamos as hipóteses (porque queremos testar se houve redução da variação):
H_0:\\ \sigma^2 = \sigma_0^2 = 12^2
H_1:\\ \sigma^2 < \sigma_0^2
Aqui eu usei a hipótese nula com igualdade (variação igual a antes) e a alternativa unilaterial à esquerda (variança menor), pois a pergunta é sobre redução da variação.

Passo 3

Teoria necessária (passo-a-passo e intuitivo):
  • Se uma amostra de tamanho n vem de uma população normal com variância \sigma^2, então a estatística
\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}
segue uma distribuição qui-quadrado com n-1 graus de liberdade. Aqui:
  • n é o tamanho da amostra;
  • s^2 é a variância amostral (o quadrado do desvio padrão amostral);
  • \sigma^2 é a variância sob a hipótese (aqui \sigma_0^2);
  • \chi^2 significa a estatística de teste (qui-quadrado).
  • Para o nosso teste unilateral à esquerda (redução), a regra de decisão é:
    rejeitar H_0 se \chi^2_{\text{obs}} < \chi^2_{\alpha,\;n-1},onde \chi^2_{\alpha,\;n-1} é o quantil da distribuição qui-quadrado com n-1 graus de liberdade tal que a probabilidade à esquerda seja \alpha.
  • Alternativamente podemos calcular o p-valor: \text{p-valor} = P\bigl(\chi^2_{n-1} \le \chi^2_{\text{obs}}\bigr).Se o p-valor for menor que \alpha, rejeitamos H_0.
Observação importante (suposição teórica): o resultado exato do teste qui-quadrado exige que a amostra provenha de uma população aproximadamente normal. O enunciado diz apenas que as observações são independentes; eu vou adotar também a suposição razoável de normalidade para aplicar o teste qui-quadrado.

Passo 4

Calcule a estatística de teste com os números dados:
  • primeiro s^2 = 10^2 = 100;
  • (n-1) = 30-1 = 29;
  • \sigma_0^2 = 12^2 = 144.
Agora a estatística:
\chi^2_{\text{obs}} = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} = \frac{29 \cdot 100}{144} = \frac{2900}{144}.
Faço a divisão passo a passo: 144 \times 20 = 2880, sobra 20, então
\frac{2900}{144} = 20 + \frac{20}{144} = 20{,}138888\ldots
Arredondando, \chi^2_{\text{obs}} \approx 20{,}14.

Passo 5

Comparação com o valor crítico e cálculo do p-valor (explicando aproximações):
  • graus de liberdade: n-1 = 29.
  • o quantil crítico à esquerda para \alpha=0{,}05 pode ser aproximado usando a aproximação normal da qui-quadrado:
\chi^2_{\alpha,\;df} \approx df + z_{\alpha}\sqrt{2\,df},
onde z_{\alpha} é o quantil padrão normal (para \alpha=0{,}05 temos z_{0{,}05}\approx -1{,}64485). Substituindo:
\chi^2_{0{,}05,\;29} \approx 29 + (-1{,}64485)\sqrt{58} \approx 29 - 1{,}64485\cdot 7{,}61577 \approx 29 - 12{,}54 \approx 16{,}46.
Assim, o valor crítico aproximado é \chi^2_{0{,}05,29}\approx 16{,}46.
Como \chi^2_{\text{obs}}\approx 20{,}14 > 16{,}46, não caímos na região de rejeição; isto é, não rejeitamos H_0.
  • Para um número mais interpretável, calculamos também o p-valor usando a aproximação normal:
z \approx \frac{\chi^2_{\text{obs}} - df}{\sqrt{2\,df}} = \frac{20{,}1389 - 29}{\sqrt{58}} \approx \frac{-8{,}8611}{7{,}6158} \approx -1{,}1637.
O p-valor (cauda esquerda) é aproximadamente \Phi(z), onde \Phi é a função de distribuição normal padrão. Então
\text{p-valor} \approx \Phi(-1{,}1637) \approx 0{,}12.
Como \text{p-valor}\approx 0{,}12 > 0{,}05, novamente concluímos que não rejeitamos H_0.

Passo 6

Interpretação em linguagem simples e conclusão prática:
  • Com base nos dados (amostra com n=30 e s=10), e assumindo que as observações vêm de uma população aproximadamente normal, não há evidência estatística suficiente, ao nível de 5\%, para afirmar que a variação (desvio padrão) da tensão diminuiu em relação a 12 V.
  • Em termos práticos: a redução observada no desvio padrão amostral (de 12 para 10 V) não é estatisticamente significativa com essa amostra de tamanho 30 — pode ser apenas variação amostral.
  • Observação final e incentivo: se você puder coletar mais observações (aumentar n), o poder do teste aumenta e você terá mais chance de detectar uma redução real se ela existir. Bom trabalho — você está indo bem ao verificar as suposições e entender a lógica do teste!

Resposta

Não há evidência, ao nível de 5\%, de redução da variação da tensão (falha em rejeitar H_0).
Estatística de teste: \chi^2_{\text{obs}}\approx 20{,}14.
p-valor aproximado: 0{,}12.

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