Usuários de uma rede de transmissão de energia elétrica têm reclamado da alta variação na tensão (desvio padrão de 12 V ). A empresa encarregada da transmissão de energia elétrica na região instalou novos transformadores. O desvio padrão calculado sobre 30 observações independentes foi de 10 V . Há evidência de redução na variação da tensão? Use o nível de significância de
. Se necessário, apresente as suposições teóricas usadas para resolver o problema.
Passo 1
O enunciado pergunta se, com nível de significância de
, há evidência de que a instalação dos novos transformadores reduziu a variação (desvio padrão) da tensão. Dados fornecidos:
- desvio padrão histórico (prévia reclamação):
V; - número de observações:
; - desvio padrão amostral calculado após a troca:
V; - nível de significância:
; - as
observações são indicadas como independentes (isto foi dado pelo enunciado).
Passo 2
Formulamos as hipóteses (porque queremos testar se houve redução da variação):
Aqui eu usei a hipótese nula com igualdade (variação igual a antes) e a alternativa unilaterial à esquerda (variança menor), pois a pergunta é sobre redução da variação.
Passo 3
Teoria necessária (passo-a-passo e intuitivo):
- Se uma amostra de tamanho
vem de uma população normal com variância , então a estatística
segue uma distribuição qui-quadrado com
graus de liberdade. Aqui:
-
é o tamanho da amostra; -
é a variância amostral (o quadrado do desvio padrão amostral); -
é a variância sob a hipótese (aqui ); -
significa a estatística de teste (qui-quadrado). - Para o nosso teste unilateral à esquerda (redução), a regra de decisão é:
rejeitarse onde é o quantil da distribuição qui-quadrado com graus de liberdade tal que a probabilidade à esquerda seja . - Alternativamente podemos calcular o p-valor:
Se o p-valor for menor que , rejeitamos .
Observação importante (suposição teórica): o resultado exato do teste qui-quadrado exige que a amostra provenha de uma população aproximadamente normal. O enunciado diz apenas que as observações são independentes; eu vou adotar também a suposição razoável de normalidade para aplicar o teste qui-quadrado.
Passo 4
Calcule a estatística de teste com os números dados:
- primeiro
; -
; -
.
Agora a estatística:
Faço a divisão passo a passo:
, sobra
, então
Arredondando,
.
Passo 5
Comparação com o valor crítico e cálculo do p-valor (explicando aproximações):
- graus de liberdade:
. - o quantil crítico à esquerda para
pode ser aproximado usando a aproximação normal da qui-quadrado:
onde
é o quantil padrão normal (para
temos
). Substituindo:
Assim, o valor crítico aproximado é
.
Como
, não caímos na região de rejeição; isto é, não rejeitamos
.
- Para um número mais interpretável, calculamos também o p-valor usando a aproximação normal:
O p-valor (cauda esquerda) é aproximadamente
, onde
é a função de distribuição normal padrão. Então
Como
, novamente concluímos que não rejeitamos
.
Passo 6
Interpretação em linguagem simples e conclusão prática:
- Com base nos dados (amostra com
e ), e assumindo que as observações vêm de uma população aproximadamente normal, não há evidência estatística suficiente, ao nível de , para afirmar que a variação (desvio padrão) da tensão diminuiu em relação a V. - Em termos práticos: a redução observada no desvio padrão amostral (de
para V) não é estatisticamente significativa com essa amostra de tamanho — pode ser apenas variação amostral. - Observação final e incentivo: se você puder coletar mais observações (aumentar
), o poder do teste aumenta e você terá mais chance de detectar uma redução real se ela existir. Bom trabalho — você está indo bem ao verificar as suposições e entender a lógica do teste!
Resposta
Não há evidência, ao nível de
, de redução da variação da tensão (falha em rejeitar
).
Estatística de teste: .
p-valor aproximado: .
Estatística de teste:
p-valor aproximado: