Exercício 2. (Valor: 4.5) Uma das etapas na produção de certo tipo de vidro baseia-se na obtenção de certo pó composto de micropartículas esféricas com diferentes diâmetros. Supõe-se que esses diâmetros possuam distribuição normal com média
e desvio padrão de
.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação: os diâmetros das micropartículas seguem uma distribuição normal com média
e desvio padrão
.
O enunciado, como você me enviou, não contém perguntas explícitas (por exemplo: calcular uma probabilidade, um percentil, etc.). Para não te deixar na mão durante a prova, vou resolver os itens que costumam ser pedidos em questões desse tipo — assim você aprende a técnica e consegue aplicar a qualquer pergunta parecida. Os itens que vou resolver são:
(a) .
(b) .
(c) .
(d) .
(e) O º percentil (ou seja, o valor
tal que
).
O enunciado, como você me enviou, não contém perguntas explícitas (por exemplo: calcular uma probabilidade, um percentil, etc.). Para não te deixar na mão durante a prova, vou resolver os itens que costumam ser pedidos em questões desse tipo — assim você aprende a técnica e consegue aplicar a qualquer pergunta parecida. Os itens que vou resolver são:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) O
Passo 2
Explicando a teoria que você precisa: a distribuição normal é descrita pelos dois parâmetros
(média) e
(desvio padrão). Quando escrevemos
, queremos dizer que a variável aleatória
tem essa distribuição. No seu caso:
Para calcular probabilidades com a normal usamos a padronização: transformamos
numa variável normal padrão
com média
e desvio
usando a fórmula abaixo.
Passo 3
Fórmula de padronização e interpretação: para qualquer valor
,
Aqui
é a normal padrão
. A ideia: as probabilidades de
são obtidas convertendo para
e usando a tabela (ou função) da normal padrão
. Regras úteis que vamos usar:
- Complemento:
. - Simetria:
.
Vou usar valores conhecidos da tabela da normal padrão:, , . Se estiver na prova sem calculadora, memorize os valores para — eles caem muito.
Passo 4
Item (a): calcular
.
Padronizo:
Padronizo:
Logo
Interpretação: cerca de
das partículas têm diâmetro menor que
.
Passo 5
Item (b): calcular
.
Padronizo as duas extremidades:
Padronizo as duas extremidades:
Então
Usando simetria
, obtemos
Substituindo
,
Observação didática: esse é o famoso resultado aproximado de que cerca de
dos dados ficam dentro de
da média.
Passo 6
Item (c): calcular
.
Padronizo:
Padronizo:
Então
Usando
,
Interpretação: cerca de
das partículas são maiores que
.
Passo 7
Item (d): calcular
.
Padronizo:
Padronizo:
Então
Com
,
Interpretação: aproximadamente
dos diâmetros estão dentro de
da média.
Passo 8
Item (e): calcular o
º percentil, ou seja, encontrar
tal que
.
Passos: primeiro encontro o correspondente a
. Pela tabela inversa,
(valor padrão que convém decorar: para
,
). Depois transformo de volta para
:
Passos: primeiro encontro o
Calculo:
logo
Interpretação:
das partículas têm diâmetro menor ou igual a aproximadamente
.
Passo 9
Dicas rápidas para a prova (pra te animar):
- Sempre padronize com
. - Decora alguns
: , , , , . - Use simetria e complemento para transformar intervalos ou caudas.
- Se a prova permitir calculadora com função normal, padronize e chame a função inversa para percentis; se não, use uma tabela e memorize os z mais comuns.
Força aí — você consegue aplicar esses passos rápido na prova!
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) º percentil
(b)
(c)
(d)
(e)