Exercício 2. (Valor: 4.5) Uma das etapas na produção de certo tipo de vidro baseia-se na obtenção de certo pó composto de micropartículas esféricas com diferentes diâmetros. Supõe-se que esses diâmetros possuam distribuição normal com média 75 \mu \mathrm{~m} e desvio padrão de 5 \mu \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação: os diâmetros das micropartículas seguem uma distribuição normal com média \mu=75\\ \mu\mathrm{m} e desvio padrão \sigma=5\\ \mu\mathrm{m}.
O enunciado, como você me enviou, não contém perguntas explícitas (por exemplo: calcular uma probabilidade, um percentil, etc.). Para não te deixar na mão durante a prova, vou resolver os itens que costumam ser pedidos em questões desse tipo — assim você aprende a técnica e consegue aplicar a qualquer pergunta parecida. Os itens que vou resolver são:
(a) \Pr(X<80).
(b) \Pr(70<X<80).
(c) \Pr(X>82).
(d) \Pr(65<X<85).
(e) O 90º percentil (ou seja, o valor x tal que \Pr(X\le x)=0,90).

Passo 2

Explicando a teoria que você precisa: a distribuição normal é descrita pelos dois parâmetros \mu (média) e \sigma (desvio padrão). Quando escrevemos X\sim N(\mu,\sigma^2), queremos dizer que a variável aleatória X tem essa distribuição. No seu caso:
X\sim N\bigl(75,\;5^2\bigr).
Para calcular probabilidades com a normal usamos a padronização: transformamos X numa variável normal padrão Z com média 0 e desvio 1 usando a fórmula abaixo.

Passo 3

Fórmula de padronização e interpretação: para qualquer valor x,
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui Z é a normal padrão Z\sim N(0,1). A ideia: as probabilidades de X são obtidas convertendo para Z e usando a tabela (ou função) da normal padrão \Phi(z)=\Pr(Z\le z). Regras úteis que vamos usar:
  • Complemento: \Pr(Z>z)=1-\Phi(z).
  • Simetria: \Phi(-z)=1-\Phi(z).
    Vou usar valores conhecidos da tabela da normal padrão: \Phi(1)\approx0,8413, \Phi(1{,}4)\approx0,9192, \Phi(2)\approx0,97725. Se estiver na prova sem calculadora, memorize os valores para z=1,1{,}28,1{,}4,2 — eles caem muito.

Passo 4

Item (a): calcular \Pr(X<80).
Padronizo:
z=\frac{80-75}{5}=\frac{5}{5}=1.
Logo
\Pr(X<80)=\Pr\bigl(Z<1\bigr)=\Phi(1)\approx0,8413.
Interpretação: cerca de 84{,}13\% das partículas têm diâmetro menor que 80\\ \mu\mathrm{m}.

Passo 5

Item (b): calcular \Pr(70<X<80).
Padronizo as duas extremidades:
z_1=\frac{70-75}{5}=-1,\qquad z_2=\frac{80-75}{5}=1.
Então
\Pr(70<X<80)=\Pr(-1<Z<1)=\Phi(1)-\Phi(-1).
Usando simetria \Phi(-1)=1-\Phi(1), obtemos
\Pr(70<X<80)=\Phi(1)-\bigl(1-\Phi(1)\bigr)=2\Phi(1)-1.
Substituindo \Phi(1)\approx0,8413,
\Pr(70<X<80)\approx2\cdot0,8413-1=0,6826.
Observação didática: esse é o famoso resultado aproximado de que cerca de 68{,}26\% dos dados ficam dentro de \pm1\sigma da média.

Passo 6

Item (c): calcular \Pr(X>82).
Padronizo:
z=\frac{82-75}{5}=\frac{7}{5}=1{,}4.
Então
\Pr(X>82)=\Pr(Z>1{,}4)=1-\Phi(1{,}4).
Usando \Phi(1{,}4)\approx0,9192,
\Pr(X>82)\approx1-0,9192=0,0808.
Interpretação: cerca de 8{,}08\% das partículas são maiores que 82\\ \mu\mathrm{m}.

Passo 7

Item (d): calcular \Pr(65<X<85).
Padronizo:
z_1=\frac{65-75}{5}=-2,\qquad z_2=\frac{85-75}{5}=2.
Então
\Pr(65<X<85)=\Pr(-2<Z<2)=\Phi(2)-\Phi(-2)=2\Phi(2)-1.
Com \Phi(2)\approx0,97725,
\Pr(65<X<85)\approx2\cdot0,97725-1=0,9545.
Interpretação: aproximadamente 95{,}45\% dos diâmetros estão dentro de \pm2\sigma da média.

Passo 8

Item (e): calcular o 90º percentil, ou seja, encontrar x_{0{,}90} tal que \Pr(X\le x_{0{,}90})=0,90.
Passos: primeiro encontro o z correspondente a \Phi(z)=0{,}90. Pela tabela inversa, z_{0{,}90}\approx1{,}2816 (valor padrão que convém decorar: para 90\%, z\approx1{,}2816). Depois transformo de volta para X:
x_{0{,}90}=\mu+z_{0{,}90}\sigma=75+1{,}2816\cdot5.
Calculo:
1{,}2816\cdot5=6{,}408
logo
x_{0{,}90}\approx75+6{,}408=81{,}408\\ \mu\mathrm{m}\approx81{,}41\\ \mu\mathrm{m}.
Interpretação: 90\% das partículas têm diâmetro menor ou igual a aproximadamente 81{,}41\\ \mu\mathrm{m}.

Passo 9

Dicas rápidas para a prova (pra te animar):
  • Sempre padronize com Z=(X-\mu)/\sigma.
  • Decora alguns \Phi(z): \Phi(1)\approx0,8413, \Phi(1{,}28)\approx0,9000, \Phi(1{,}2816)\approx0,9000, \Phi(1{,}4)\approx0,9192, \Phi(2)\approx0,97725.
  • Use simetria e complemento para transformar intervalos ou caudas.
  • Se a prova permitir calculadora com função normal, padronize e chame a função inversa para percentis; se não, use uma tabela e memorize os z mais comuns.
    Força aí — você consegue aplicar esses passos rápido na prova!

Resposta

(a) \Pr(X<80)\approx0{,}8413
(b) \Pr(70<X<80)\approx0{,}6826
(c) \Pr(X>82)\approx0{,}0808
(d) \Pr(65<X<85)\approx0{,}9545
(e) 90º percentil \approx81{,}41\\ \mu\mathrm{m}

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