Um sistema de monitoramento automático da qualidade da água em um rio identifica seo pH está fora da faixa aceitável (Evento A ) e se há metais pesados acima do limite (Evento B ). Sabe-se que
e
. Além disso,
das amostras com pH fora da faixa também têm metais pesados acima do limite. Com base nisso, responda:
a) Qual a probabilidade de uma amostra nāo apresentar nenhum fator contaminante?
b)
uma amostra não apresentou pH fora da faixa, qual a probabilidade de haver contaminaçāo por metais pesados?
c) Os eventos “contaminação por metais pesados” e “pH fora da faixa” são independentes? Justifique.
a) Qual a probabilidade de uma amostra nāo apresentar nenhum fator contaminante?
b)
c) Os eventos “contaminação por metais pesados” e “pH fora da faixa” são independentes? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede três coisas (a, b e c) e dá algumas informações. Vou listar tudo com calma para não nos perder:
- Perguntas do enunciado:
- (a) Qual a probabilidade de uma amostra não apresentar nenhum fator contaminante?
- (b) Se uma amostra não apresentou pH fora da faixa, qual a probabilidade de haver contaminação por metais pesados?
- (c) Os eventos “contaminação por metais pesados” e “pH fora da faixa” são independentes? Justifique.
- Informações fornecidas:
- Probabilidade de pH fora da faixa:
. - Probabilidade de metais pesados acima do limite:
. - Dado que o pH está fora da faixa, a probabilidade de também ter metais pesados é
: isto é, .
- Probabilidade de pH fora da faixa:
Não vou resolver nada ainda aqui — só organizei o que é pedido e os dados que temos.
Passo 2
Primeiro passo técnico: converter porcentagens em probabilidades numéricas para ease nos cálculos. Vou usar vírgula para decimais (como no enunciado):
-
(que é ). -
(que é ). -
(que é ).
Também é útil lembrar algumas definições que usarei depois:
- O evento complementar de
é e tem probabilidade . - A probabilidade conjunta (interseção) pode ser obtida por
.
Passo 3
Vamos calcular
(a probabilidade de ocorrerem ambos os problemas) usando a fórmula da probabilidade condicional. Explico a fórmula:
significa “probabilidade de
ocorrer sabendo que
ocorreu”. A relação entre condicional e interseção é
Aqui cada símbolo significa:
-
: probabilidade de “A e B acontecerem”. -
: probabilidade de “A acontecer”. -
: probabilidade de “B acontecer dado que A já aconteceu”.
Substituindo os números:
Interpretação imediata:
, ou seja
.
Observação importante (intuitiva): como
e
, isso sugere que todas as ocorrências de
também ocorrem com
— ou seja,
está, na prática, contido em
. Vou usar isso adiante para interpretar os resultados.
Passo 4
A pergunta (a) quer a probabilidade de “não apresentar nenhum fator contaminante”, isto é, nem
nem
. Em termos de probabilidade isso é
, que é o complementar da união
. Assim:
Aplicamos a fórmula da união (princípio da inclusão-exclusão):
Já temos todos os termos:
,
,
. Então
Logo
Interpretação:
das amostras não têm nenhum dos dois problemas.
Passo 5
Queremos
: probabilidade de ter metais pesados dado que o pH não está fora da faixa.
A definição de probabilidade condicional dá:
O numerador
é a probabilidade de
ocorrer sem
. Podemos calcular
usando que
. Assim
Já calculamos
e sabemos
. Então
Como
, temos
Interpretação clara: se a amostra não apresentou pH fora da faixa, a probabilidade de ter metais pesados é
. Isso confirma a observação anterior: todos os casos com metais pesados ocorrem junto com pH fora da faixa (na prática,
).
Passo 6
Agora verificar independência. Dois eventos
e
são independentes se a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro. Formalmente, uma das equivalências é:
Outra forma equivalente é
Vamos testar com os números que temos.
-
Comparando
com : temos e . Como , a igualdade necessária para independência não vale. Portanto os eventos não são independentes. -
Se preferir ver pelo produto:
, diferente do real . Também conclui que não são independentes.
Interpretação intuitiva: saber que o pH está fora da faixa aumenta fortemente a chance de haver metais pesados (de
para
), então os eventos estão claramente associados — não são independentes.
Resposta
a)
b)
c) Não.
b)
c) Não.