Um sistema de monitoramento automático da qualidade da água em um rio identifica seo pH está fora da faixa aceitável (Evento A ) e se há metais pesados acima do limite (Evento B ). Sabe-se que \mathrm{P}(\mathrm{A})= 10 \% e \mathrm{P}(\mathrm{B})=6 \%. Além disso, 60 \% das amostras com pH fora da faixa também têm metais pesados acima do limite. Com base nisso, responda:
a) Qual a probabilidade de uma amostra nāo apresentar nenhum fator contaminante?
b) \mathrm{Se} uma amostra não apresentou pH fora da faixa, qual a probabilidade de haver contaminaçāo por metais pesados?
c) Os eventos “contaminação por metais pesados” e “pH fora da faixa” são independentes? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede três coisas (a, b e c) e dá algumas informações. Vou listar tudo com calma para não nos perder:
  • Perguntas do enunciado:
    1. (a) Qual a probabilidade de uma amostra não apresentar nenhum fator contaminante?
    2. (b) Se uma amostra não apresentou pH fora da faixa, qual a probabilidade de haver contaminação por metais pesados?
    3. (c) Os eventos “contaminação por metais pesados” e “pH fora da faixa” são independentes? Justifique.
  • Informações fornecidas:
    • Probabilidade de pH fora da faixa: P(A)=10\%.
    • Probabilidade de metais pesados acima do limite: P(B)=6\%.
    • Dado que o pH está fora da faixa, a probabilidade de também ter metais pesados é 60\%: isto é, P(B\mid A)=60\%.
Não vou resolver nada ainda aqui — só organizei o que é pedido e os dados que temos.

Passo 2

Primeiro passo técnico: converter porcentagens em probabilidades numéricas para ease nos cálculos. Vou usar vírgula para decimais (como no enunciado):
  • P(A)=0,10 (que é 10\%).
  • P(B)=0,06 (que é 6\%).
  • P(B\mid A)=0,60 (que é 60\%).
Também é útil lembrar algumas definições que usarei depois:
  • O evento complementar de A é A^c e tem probabilidade P(A^c)=1-P(A).
  • A probabilidade conjunta (interseção) pode ser obtida por P(A\cap B)=P(A)\,P(B\mid A).

Passo 3

Vamos calcular P(A\cap B) (a probabilidade de ocorrerem ambos os problemas) usando a fórmula da probabilidade condicional. Explico a fórmula: P(B\mid A) significa “probabilidade de B ocorrer sabendo que A ocorreu”. A relação entre condicional e interseção é
P(A\cap B)=P(A)\,P(B\mid A).
Aqui cada símbolo significa:
  • P(A\cap B): probabilidade de “A e B acontecerem”.
  • P(A): probabilidade de “A acontecer”.
  • P(B\mid A): probabilidade de “B acontecer dado que A já aconteceu”.
Substituindo os números:
P(A\cap B)=0,10\times 0,60=0,06.
Interpretação imediata: P(A\cap B)=0,06, ou seja 6\%.
Observação importante (intuitiva): como P(B)=0,06 e P(A\cap B)=0,06, isso sugere que todas as ocorrências de B também ocorrem com A — ou seja, B está, na prática, contido em A. Vou usar isso adiante para interpretar os resultados.

Passo 4

A pergunta (a) quer a probabilidade de “não apresentar nenhum fator contaminante”, isto é, nem A nem B. Em termos de probabilidade isso é P(A^c\cap B^c), que é o complementar da união A\cup B. Assim:
P(A^c\cap B^c)=1-P(A\cup B).
Aplicamos a fórmula da união (princípio da inclusão-exclusão):
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Já temos todos os termos: P(A)=0,10, P(B)=0,06, P(A\cap B)=0,06. Então
P(A\cup B)=0,10+0,06-0,06=0,10.
Logo
P(A^c\cap B^c)=1-0,10=0,90.
Interpretação: 90\% das amostras não têm nenhum dos dois problemas.

Passo 5

Queremos P(B\mid A^c): probabilidade de ter metais pesados dado que o pH não está fora da faixa.
A definição de probabilidade condicional dá:
P(B\mid A^c)=\frac{P(B\cap A^c)}{P(A^c)}.
O numerador P(B\cap A^c) é a probabilidade de B ocorrer sem A. Podemos calcular P(B\cap A^c) usando que P(B)=P(B\cap A)+P(B\cap A^c). Assim
P(B\cap A^c)=P(B)-P(B\cap A).
Já calculamos P(B\cap A)=P(A\cap B)=0,06 e sabemos P(B)=0,06. Então
P(B\cap A^c)=0,06-0,06=0.
Como P(A^c)=1-0,10=0,90, temos
P(B\mid A^c)=\frac{0}{0,90}=0.
Interpretação clara: se a amostra não apresentou pH fora da faixa, a probabilidade de ter metais pesados é 0\%. Isso confirma a observação anterior: todos os casos com metais pesados ocorrem junto com pH fora da faixa (na prática, B\subseteq A).

Passo 6

Agora verificar independência. Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro. Formalmente, uma das equivalências é:
\text{independência} \iff P(B\mid A)=P(B).ê
Outra forma equivalente é
\text{independência} \iff P(A\cap B)=P(A)P(B).ê
Vamos testar com os números que temos.
  • Comparando P(B\mid A) com P(B): temos P(B\mid A)=0,60 e P(B)=0,06. Como 0,60\neq 0,06, a igualdade necessária para independência não vale. Portanto os eventos não são independentes.
  • Se preferir ver pelo produto: P(A)P(B)=0,10\times 0,06=0,006, diferente do real P(A\cap B)=0,06. Também conclui que não são independentes.
Interpretação intuitiva: saber que o pH está fora da faixa aumenta fortemente a chance de haver metais pesados (de 6\% para 60\%), então os eventos estão claramente associados — não são independentes.

Resposta

a) 90\%
b) 0\%
c) Não.

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