Calcule os limites abaixo:
lim x 1 raiz3 x+1-2raiz4 x+5-3.

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto1raiz3x+1-2raiz4x+5-3
Este é um caso de indeterminação do tipo 0/0, então vamos usar racionalização para eliminar os radicais e simplificar a expressão.

Passo 2

Verificamos o tipo de indeterminação substituindo x=1:
raiz3cdot1+1=raiz4=2 e raiz4cdot1+5=raiz9=3, logo o numerador vira 2-2=0 e o denominador 3-3=0. É 0/0.

Passo 3

Racionalizamos o numerador multiplicando e dividindo por raiz3x+1+2:
raiz3x+1-2raiz4x+5-3cdotraiz3x+1+2raiz3x+1+2 =3x+1-4(raiz4x+5-3)(raiz3x+1+2) =3(x-1)(raiz4x+5-3)(raiz3x+1+2)

Passo 4

Agora racionalizamos o fator raiz4x+5-3 do denominador, multiplicando e dividindo por raiz4x+5+3:
3(x-1)(raiz4x+5-3)(raiz3x+1+2)cdotraiz4x+5+3raiz4x+5+3 =3(x-1)(raiz4x+5+3)(4x+5-9)(raiz3x+1+2) =3(x-1)(raiz4x+5+3)4(x-1)(raiz3x+1+2)
Cancelamos (x-1):
3(raiz4x+5+3)4(raiz3x+1+2)

Passo 5

Agora basta substituir x=1:
raiz4cdot1+5=3 e raiz3cdot1+1=2. Então
3(3+3)4(2+2)=1816=98

Resposta

98

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