E. coli (bactéria) cresce em manitol (substrato) com a seguinte cinética:
a) Encontre a concentração celular na saída quando
de solução de manitol (
) é alimentada diretamente num reator de mistura contínuo (CSTR) de volume
b) Como você melhoraria a produção de células?
c) Encontre o valor de Cx nas melhores condições de operação.
b) Como você melhoraria a produção de células?
c) Encontre o valor de Cx nas melhores condições de operação.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado).
Dados:
- Taxa específica de crescimento (cinética):
(Na prática
tem unidade de
e é análoga a um
.)
- Rendimento:
- Vazão de alimentação:
- Concentração de substrato na alimentação:
- Volume do CSTR:
O enunciado pede:
(a) Encontrar a concentração celular na saída (ou seja, a concentração estacionária no reator) com os dados acima.
(b) Dizer como melhorar a produção de células (medidas práticas).
(c) Encontrar o valor de nas melhores condições de operação (interpreto como o valor máximo de
que se pode obter com esses dados e controles simples).
(a) Encontrar a concentração celular na saída (ou seja, a concentração estacionária
(b) Dizer como melhorar a produção de células (medidas práticas).
(c) Encontrar o valor de
Passo 2
Definir a grandeza chave: taxa de diluição do CSTR. Explicação breve: em um CSTR com vazão contínua, a perda de células por saída é proporcional à taxa de diluição
Calculemos numericamente:
Interpretação: cada hora são renovados
do volume do reator — taxa alta.
Passo 3
Escrever o balanço de biomassa no estado estacionário e explicar passo a passo.
Balanço de biomassa (por unidade de volume) em regime estacionário:
A produção específica por volume é
(unidade
), e a remoção por lavagem é
. Assim, em regime estacionário:
Substituindo
:
Se
podemos cancelar
e obter a condição de equilíbrio entre taxa de crescimento específica
e diluição:
Comentário didático: o lado esquerdo é a taxa específica de crescimento
; o lado direito é a perda por diluição
. Para haver biomass em estado estacionário não nulo é necessário que exista um
que satisfaça essa equação e que a taxa máxima de crescimento
seja maior que
. Aqui
Comparando:
Como
, não existe solução positiva
da equação acima — fisicamente as células não conseguem crescer rápido o suficiente para compensar a lavagem e o reator entra em “washout” (lavagem): a única solução estacionária é
.
Além disso, se
não há consumo do substrato, então
.
Passo 4
Conclusão numérica para (a) com explicação curta (revisão dos passos anteriores para fixar): como
ocorre washout, portanto a concentração celular na saída é nula:
(Observação: o substrato na saída será igual ao de alimentação,
, porque não houve consumo.)
Passo 5
Responder didaticamente (b): como melhorar a produção de células? Vou listar opções práticas e por que funcionam — foco em medidas que afetem
ou a capacidade de crescimento.
-
Reduzir a taxa de diluição
. Formas: - Diminuir a vazão de alimentação
(por ex. reduzir de para abaixo de quando — explico por que abaixo). - Aumentar o volume
do reator. Para ter é suficiente ter Ou seja, com o volume mínimo para evitar washout seria (o reator atual de é insuficiente). - Reduzir
mantendo fixo: com deve-se ter .
- Diminuir a vazão de alimentação
-
Usar reciclo de biomassa: recircular a saída (ou parte dela) de volta à entrada reduz a perda líquida de células e efetivamente diminui a diluição vista pelas células, permitindo operação em taxas de alimentação maiores sem washout.
-
Utilizar reatores em série ou PFRs (Plug Flow Reactor) ou uma cascata de CSTRs: para mesma vazão total, uma cascata pode dar maior conversão de substrato e maior concentração média de células que um único CSTR.
-
Operar em fed-batch ou batch: em fed-batch é possível acumular células até consumir muito do substrato sem perda por lavagem, alcançando concentrações maiores que as de um CSTR em regime contínuo.
-
Imobilização de células ou leito fixo: reduz a perda por saída (as células ficam retidas) e permite altas densidades.
-
Melhorias biológicas/operacionais: aumentar
por engenharia de estirpe, otimizar temperatura/pH/oxigenação, ou aumentar (nota: aumentar não evita washout se , mas pode aumentar quando ).
Comentário encorajador: das opções, as mais diretas e simples são diminuir
ou aumentar
até que
; reciclo de células e fed-batch costumam ser escolhas industriais muito eficazes.
Passo 6
Resolver (c): encontrar o valor de
nas melhores condições de operação — interpretação e cálculo rigoroso.
Primeiro interpretar “melhores condições” como as que maximizam a concentração estacionária de células
no reator entre as opções práticas acima (mantendo o esquema de CSTR contínuo). Explicação: usando a relação de rendimento fornecida, quando mais substrato for convertido em célula mais alto será
; o limite superior ocorre quando todo o substrato de alimentação é consumido dentro do reator (ou seja,
no reator). Pelo rendimento dado:
Se
então
Outra abordagem (mais formal): para um CSTR com solução positiva
, da condição de crescimento temos primeiro resolver
em função de
:
Em seguida
Calculando a derivada mostra que
é monotonicamente decrescente com
em
(ou seja, quanto menor
maior
), então o máximo ocorre em
, que implica
e
. Portanto o melhor valor alcançável num CSTR (sem reciclo e mantendo o modelo) é
Observação prática: para realmente atingir valores próximos de
em regime contínuo é preciso operar com uma diluição muito baixa (quase batch-like) ou usar estratégias como fed-batch/reciclo; reatores alternativos (fed-batch, imobilização) frequentemente permitem exceder concentrações estacionárias de um simples CSTR em regime contínuo.
Resposta
(a)
(washout, pois
).
(b) Diminuir (aumentar
para
ou reduzir
para
); ou usar reciclo de células, fed-batch, reatores em série/PFR, imobilização de células ou melhoria da estirpe/condições para aumentar
.
(c) (limite quando
, isto é
).
(b) Diminuir
(c)