E. coli (bactéria) cresce em manitol (substrato) com a seguinte cinética:
\mathrm{r}_{\mathrm{X}}=\frac{1,2 \cdot \mathrm{Cs}}{2+\mathrm{Cs}} \cdot \mathrm{Cx} \quad Y_{X / s}=\frac{C_{X}}{C_{S 0}-C_{S}}=0,1 \mathrm{gx} / \mathrm{gs}
a) Encontre a concentração celular na saída quando 1 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} de solução de manitol ( \mathrm{Cs}_{0}=6,0 \mathrm{~g} \cdot \mathrm{~m}^{-3} ) é alimentada diretamente num reator de mistura contínuo (CSTR) de volume \mathrm{V}=0,75 \mathrm{~m}^{3}
b) Como você melhoraria a produção de células?
c) Encontre o valor de Cx nas melhores condições de operação.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado).
Dados:
  • Taxa específica de crescimento (cinética):
\mathrm{r}_{\mathrm{X}}=\frac{1,2\cdot \mathrm{C}_{\mathrm{s}}}{2+\mathrm{C}_{\mathrm{s}}}\cdot \mathrm{C}_{\mathrm{X}}
(Na prática \dfrac{1,2\;C_s}{2+C_s} tem unidade de \mathrm{h^{-1}} e é análoga a um \mu(C_s).)
  • Rendimento:
Y_{X/s}=\frac{C_X}{C_{S0}-C_S}=0,1\\ \mathrm{g_X/g_S}
  • Vazão de alimentação:
q=1{,}0\\ \mathrm{m^3/h}
  • Concentração de substrato na alimentação:
C_{S0}=6{,}0\\ \mathrm{g\;m^{-3}}
  • Volume do CSTR:
V=0{,}75\\ \mathrm{m^3}
O enunciado pede:
(a) Encontrar a concentração celular na saída (ou seja, a concentração estacionária C_X no reator) com os dados acima.
(b) Dizer como melhorar a produção de células (medidas práticas).
(c) Encontrar o valor de C_X nas melhores condições de operação (interpreto como o valor máximo de C_X que se pode obter com esses dados e controles simples).

Passo 2

Definir a grandeza chave: taxa de diluição do CSTR. Explicação breve: em um CSTR com vazão contínua, a perda de células por saída é proporcional à taxa de diluição
D=\frac{q}{V}.
Calculemos numericamente:
D=\frac{1{,}0}{0{,}75}=1{,}333\ldots\\ \mathrm{h^{-1}}.
Interpretação: cada hora são renovados 133{,}3\% do volume do reator — taxa alta.

Passo 3

Escrever o balanço de biomassa no estado estacionário e explicar passo a passo.
Balanço de biomassa (por unidade de volume) em regime estacionário:
\frac{dC_X}{dt}= \text{produção} - \text{remoção por lavagem}=0.çãçã
A produção específica por volume é \mathrm{r}_X (unidade \mathrm{g_X\;m^{-3}\;h^{-1}}), e a remoção por lavagem é D\,C_X. Assim, em regime estacionário:
\mathrm{r}_X - D\,C_X=0.
Substituindo \mathrm{r}_X=\dfrac{1,2\,C_S}{2+C_S}\,C_X:
\frac{1,2\,C_S}{2+C_S}\,C_X - D\,C_X=0.
Se C_X\neq 0 podemos cancelar C_X e obter a condição de equilíbrio entre taxa de crescimento específica \mu(C_S) e diluição:
\frac{1,2\,C_S}{2+C_S}=D.
Comentário didático: o lado esquerdo é a taxa específica de crescimento \mu(C_S); o lado direito é a perda por diluição D. Para haver biomass em estado estacionário não nulo é necessário que exista um C_S\ge 0 que satisfaça essa equação e que a taxa máxima de crescimento \mu_{\max} seja maior que D. Aqui
\mu_{\max}=\lim_{C_S\to\infty}\frac{1,2\,C_S}{2+C_S}=1{,}2\\ \mathrm{h^{-1}}.
Comparando:
D=1{,}333\ldots\\ \mathrm{h^{-1}}\quad\text{e}\quad \mu_{\max}=1{,}2\\ \mathrm{h^{-1}}.
Como D>\mu_{\max}, não existe solução positiva C_S da equação acima — fisicamente as células não conseguem crescer rápido o suficiente para compensar a lavagem e o reator entra em “washout” (lavagem): a única solução estacionária é C_X=0.
Além disso, se C_X=0 não há consumo do substrato, então C_S=C_{S0}=6{,}0\\ \mathrm{g\;m^{-3}}.

Passo 4

Conclusão numérica para (a) com explicação curta (revisão dos passos anteriores para fixar): como D>\mu_{\max} ocorre washout, portanto a concentração celular na saída é nula:
C_X=0\\ \mathrm{g\;m^{-3}}.
(Observação: o substrato na saída será igual ao de alimentação, C_S=6{,}0\\ \mathrm{g\;m^{-3}}, porque não houve consumo.)

Passo 5

Responder didaticamente (b): como melhorar a produção de células? Vou listar opções práticas e por que funcionam — foco em medidas que afetem D ou a capacidade de crescimento.
  1. Reduzir a taxa de diluição D. Formas:
    • Diminuir a vazão de alimentação q (por ex. reduzir de 1{,}0 para abaixo de 0{,}9\\ \mathrm{m^3/h} quando V=0{,}75 — explico por que abaixo).
    • Aumentar o volume V do reator. Para ter D<\mu_{\max}=1{,}2 é suficiente ter V>\frac{q}{\mu_{\max}}=\frac{1{,}0}{1{,}2}=0{,}833\ldots\\ \mathrm{m^3}.Ou seja, com q=1{,}0\\ \mathrm{m^3/h} o volume mínimo para evitar washout seria V>0{,}833\\ \mathrm{m^3} (o reator atual de 0{,}75 é insuficiente).
    • Reduzir q mantendo V fixo: com V=0{,}75 deve-se ter q<\mu_{\max}\,V=1{,}2\times 0{,}75=0{,}9\\ \mathrm{m^3/h}.
  2. Usar reciclo de biomassa: recircular a saída (ou parte dela) de volta à entrada reduz a perda líquida de células e efetivamente diminui a diluição vista pelas células, permitindo operação em taxas de alimentação maiores sem washout.
  3. Utilizar reatores em série ou PFRs (Plug Flow Reactor) ou uma cascata de CSTRs: para mesma vazão total, uma cascata pode dar maior conversão de substrato e maior concentração média de células que um único CSTR.
  4. Operar em fed-batch ou batch: em fed-batch é possível acumular células até consumir muito do substrato sem perda por lavagem, alcançando concentrações maiores que as de um CSTR em regime contínuo.
  5. Imobilização de células ou leito fixo: reduz a perda por saída (as células ficam retidas) e permite altas densidades.
  6. Melhorias biológicas/operacionais: aumentar \mu_{\max} por engenharia de estirpe, otimizar temperatura/pH/oxigenação, ou aumentar C_{S0} (nota: aumentar C_{S0} não evita washout se D>\mu_{\max}, mas pode aumentar C_X quando D<\mu_{\max}).
Comentário encorajador: das opções, as mais diretas e simples são diminuir q ou aumentar V até que D<1{,}2\\ \mathrm{h^{-1}}; reciclo de células e fed-batch costumam ser escolhas industriais muito eficazes.

Passo 6

Resolver (c): encontrar o valor de C_X nas melhores condições de operação — interpretação e cálculo rigoroso.
Primeiro interpretar “melhores condições” como as que maximizam a concentração estacionária de células C_X no reator entre as opções práticas acima (mantendo o esquema de CSTR contínuo). Explicação: usando a relação de rendimento fornecida, quando mais substrato for convertido em célula mais alto será C_X; o limite superior ocorre quando todo o substrato de alimentação é consumido dentro do reator (ou seja, C_S\to 0 no reator). Pelo rendimento dado:
Y_{X/s}=\frac{C_X}{C_{S0}-C_S}=0{,}1.
Se C_S\to 0 então
C_X^{\max}=Y_{X/s}\,C_{S0}=0{,}1\times 6{,}0=0{,}6\\ \mathrm{g\;m^{-3}}.
Outra abordagem (mais formal): para um CSTR com solução positiva C_X>0, da condição de crescimento temos primeiro resolver C_S em função de D:
\frac{1,2\,C_S}{2+C_S}=D \quad\Rightarrow\quad C_S=\frac{2D}{1{,}2-D}\quad(\text{válido só para }D<1{,}2).áó
Em seguida
C_X=Y_{X/s}\,(C_{S0}-C_S)=0{,}1\left(C_{S0}-\frac{2D}{1{,}2-D}\right).
Calculando a derivada mostra que C_X é monotonicamente decrescente com D em 0<D<1{,}2 (ou seja, quanto menor D maior C_X), então o máximo ocorre em D\to 0, que implica C_S\to 0 e C_X\to Y_{X/s}C_{S0}=0{,}6\\ \mathrm{g\;m^{-3}}. Portanto o melhor valor alcançável num CSTR (sem reciclo e mantendo o modelo) é
C_X^{\max}=0{,}6\\ \mathrm{g\;m^{-3}}.
Observação prática: para realmente atingir valores próximos de 0{,}6\\ \mathrm{g\;m^{-3}} em regime contínuo é preciso operar com uma diluição muito baixa (quase batch-like) ou usar estratégias como fed-batch/reciclo; reatores alternativos (fed-batch, imobilização) frequentemente permitem exceder concentrações estacionárias de um simples CSTR em regime contínuo.

Resposta

(a) C_X=0\\ \mathrm{g\;m^{-3}} (washout, pois D=1{,}333\ldots>\mu_{\max}=1{,}2\\ \mathrm{h^{-1}}).
(b) Diminuir D (aumentar V para >\,0{,}833\\ \mathrm{m^3} ou reduzir q para <0{,}9\\ \mathrm{m^3/h}); ou usar reciclo de células, fed-batch, reatores em série/PFR, imobilização de células ou melhoria da estirpe/condições para aumentar \mu_{\max}.
(c) C_X^{\max}=0{,}6\\ \mathrm{g\;m^{-3}} (limite quando C_S\to 0, isto é C_X=Y_{X/s}C_{S0}=0{,}1\times 6{,}0).

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