Em uma colisão frontal próton-próton, a razão entre a energia cinética no centro do sistema de massa e a energia cinética incidente é
R=[raiz2 m c^2(Ek+2 m c^2)-2 m c^2] / Ek
Ache o valor dessa razão de energias cinéticas para
Ek gg m c^2 (relativista extrema).
Resposta: (a) 12, (b) 0 . A última resposta é um tipo de lei
de retornos decrescentes para aceleradores de partículas de altas energias (com alvos estacionários).

Passo 1

Beleza, temos o enunciado falando de colisão frontal próton-próton e nos dá a razão
R ;=;raiz2,m c^2,l(Ek+2,m c^2r) ;-;2,m c^2Ek
Queremos o valor de no caso extremamente relativístico, ou seja, .
Matéria envolvida: cinemática relativística e limite para quantidade grande. A gente vai usar expansão de para .

Passo 2

Primeiro, fatoramos raiz2,m c^2,l(Ek+2,m c^2r) = raiz2,m c^2,Ek,l(1 + 2,m c^2Ekr) = raiz2,m c^2,Ek;raiz1 + 2,m c^2Ek, dentro da raiz pra ver o comportamento quando é muito grande:

Passo 3

Como raiz1 + 2,m c^2Ek approx 1 + 12,2,m c^2Ek = 1 + m c^2Ek , o termo raiz2,m c^2,l(Ek+2,m c^2r) approx raiz2,m c^2,Ek;l(1 + m c^2Ekr) = raiz2,m c^2,Ek ;+; m c^2,raiz2,m c^2Ek é muito pequeno. Usamos a expansão
R approx raiz2,m c^2,Ek - 2,m c^2 + underbracem c^2raiztfrac2,m c^2Ekto0Ek para . Com :
Então
Subtraindo e dividindo por :
Para , o termo domina e os outros viram detalhes pequenos.

Passo 4

Assim, o numerador se comporta como R approx raiz2,m c^2,EkEk = raiz2,m c^2Ek , e dividindo por
Como , esse quociente tende a zero.

Resposta

(limite quando ).

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