Usando expansões binomiais, compare as três fórmulas do deslocamento Doppler:
(a) nu^prime=nu(1 mp vc)^-1 fonte se movendo;
(b) nu^prime=nu(1 pm vc) observador se movendo;
© nu^prime=nu(1 pm vc)(1-v^2c^2)^-1 / 2 relativista.
Nota: A fórmula relativista está de acordo com as fórmulas clássicas se os termos de ordem v^2 / c^2 puderem ser desprezados.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede que a gente use expansões binomiais pra comparar três fórmulas de Doppler:
(a) fonte se movendo:
(b) observador se movendo:
© relativista:
Conteúdo: série de Taylor/binomial pra pequenos . A gente vai expandir cada fator como e comparar até ordem .

Passo 2

Expandindo (a) (1mp x)^-1=1pm x + x^2 pm x^3+dots com nu'=nul[1pm vc +l( vcr)^2 +dotsr] . Pela fórmula binomial com expoente :
Então
Até 1ª ordem dá ; o termo aparece e difere do caso (b).

Passo 3

Para (b) é trivial:
nu'=nul(1pm vcr)
já está numa expressão polinomial. Até 1ª ordem . Não há termo aí.

Passo 4

Agora ©:
nu'=nul(1pm xr)l(1-x^2r)^-1/2, x= vc
  1. Expande (1-x^2)^-1/2 = 1 + tfrac12x^2 + tfrac38x^4+dots com expoente (1pm x)l[1 + tfrac12x^2+dotsr] = 1pm x + tfrac12x^2 pm tfrac12x^3 +dots :
nu'=nul[1pm vc + tfrac12l( vcr)^2 + dotsr]
  1. Multiplica por :
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Passo 5

Comparando tudo:
  • Fórmulas (a) e (b) coincidem até 1ª ordem: .
  • (a) tem termo igual a , enquanto © traz coeficiente .
  • Se a gente desprezar , todas as três viram .

Resposta

Para nu'approxnul(1pm vcr), , todas as fórmulas dão
ou seja, as clássicas (a) e (b) são só o caso de 1ª ordem da fórmula relativista © quando a gente ignora todos os termos de ordem em diante.

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