Usando expansões binomiais, compare as três fórmulas do deslocamento Doppler:
(a)
fonte se movendo;
(b)
observador se movendo;
©
relativista.
Nota: A fórmula relativista está de acordo com as fórmulas clássicas se os termos de ordem
puderem ser desprezados.
(a)
(b)
©
Nota: A fórmula relativista está de acordo com as fórmulas clássicas se os termos de ordem
Passo 1
Beleza, o enunciado pede que a gente use expansões binomiais pra comparar três fórmulas de Doppler:
(a) fonte se movendo:
(b) observador se movendo:
© relativista:
Conteúdo: série de Taylor/binomial pra pequenos . A gente vai expandir cada fator como
e comparar até ordem
.
(a) fonte se movendo:
(b) observador se movendo:
© relativista:
Conteúdo: série de Taylor/binomial pra pequenos
Passo 2
Expandindo (a)
com
. Pela fórmula binomial com expoente
:
Então
Até 1ª ordem dá
; o termo
aparece e difere do caso (b).
Passo 3
Para (b) é trivial:
já está numa expressão polinomial. Até 1ª ordem
. Não há termo
aí.
Passo 4
Agora ©:
- Expande
com expoente :
- Multiplica por
:
Logo
Passo 5
Comparando tudo:
- Fórmulas (a) e (b) coincidem até 1ª ordem:
. - (a) tem termo
igual a , enquanto © traz coeficiente . - Se a gente desprezar
, todas as três viram .
Resposta
Para
, todas as fórmulas dão
ou seja, as clássicas (a) e (b) são só o caso de 1ª ordem da fórmula relativista © quando a gente ignora todos os termos de ordem
em diante.