Usando expansão em série de Taylor calcule o valor de sen 48^circ com precisão de quatro casas decimais.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente calcular sin x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)! usando a expansão em série de Taylor em torno de zero, com precisão de quatro casas decimais.
Conteúdo: série de Taylor para função seno e conversão de graus para radianos.
O que precisaremos:
• Converter para radianos, .
• Saber que
• Determinar quantos termos usar para que o erro (o próximo termo) fique abaixo de .
• Calcular cada termo até atender a essa precisão e somar.

Passo 2

Converter para radianos:
x = 48^circ = 48pi180 = 4pi15approx0,83775804,

Passo 3

Escrever a série de Taylor (em LaTeX!):
sin x = x - x^33! + x^55! - x^77! + x^99! - cdots
Cada termo é
Tn = (-1)^n x^2n+1(2n+1)!,

Passo 4

A gente quer parar quando o próximo termo for menor que , assim garantimos 4 casas decimais certas.
  • Para (isto é, termo em ),
    → ainda um pouquinho acima de .
  • Para (termo em ),
    .
Então a gente vai somar até (ou seja, até o termo em ).

Passo 5

Calcular cada termo aproximadamente:
T0 &= x approx 0,83775804, T1 &= -x^33! approx -0,09819351, T2 &= x^55! approx 0,00345031, T3 &= -x^77! approx -0,00005776, T4 &= x^99! approx 0,00000056
Agora somamos:
sin48^circ approx T0 + T1 + T2 + T3 + T4 approx 0,83775804 -0,09819351 +0,00345031 -0,00005776 +0,00000056 approx 0,7431448ldots

Resposta

(quatro casas decimais).

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