1. Colisão inelástica
Uma bala de rifle de massa 12,0 \mathrm{~g} é disparada horizontalmente com rapidez 380 \mathrm{~m} / \mathrm{s} contra um pêndulo balístico de massa 6,00 \mathrm{~kg}. A bala fica incrustada no pêndulo. Qual é a elevação vertical máxima atingida pelo conjunto após o choque?
5,86 \mathrm{~cm}
11,7 \mathrm{~cm}
2,93 \mathrm{~cm}
2,18 \mathrm{~cm}
1,47 \mathrm{~cm}

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou escrever todos os números e unidades em forma matemática):
  • Massa da bala: m_b=12,0\\ \mathrm{g}=0,0120\\ \mathrm{kg}.
  • Rapidez inicial da bala (horizontal): v_b=380\\ \mathrm{m/s}.
  • Massa do pêndulo balístico: M=6,00\\ \mathrm{kg}.
    O que se pede:
  • A elevação vertical máxima h atingida pelo conjunto bala+pendulo após a colisão, sabendo que a bala fica incrustada no pêndulo (colisão totalmente inelástica).

Passo 2

Entendendo o processo e a hipótese física usada (muito importante na prova).
  • Durante o choque (muito curto) a força externa horizontal é desprezível, portanto o momento linear (quantidade de movimento) horizontal é conservado durante a colisão. Em símbolos:
m_b v_b = (m_b+M)\,v',
onde v' é a velocidade horizontal comum imediatamente após a colisão.
  • A colisão é inelástica (a bala fica presa), então a energia cinética NÃO é conservada no choque; parte dela vai para deformação, calor etc. Contudo, depois do choque, o conjunto se move como um só corpo com velocidade v' e, enquanto sobe até a altura máxima, a energia cinética restante é convertida em energia potencial gravitacional (assumindo ausência de atrito significativo).
    Agora isolamos v':
v'=\frac{m_b v_b}{m_b+M}.

Passo 3

Cálculo do momento linear e da velocidade imediatamente após o choque (faça isso passo a passo na prova).
  • Primeiro o momento inicial da bala:
p=m_b v_b = 0,0120\cdot 380 = 4,56\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Massa total após a colisão:
m_b+M = 0,0120 + 6,00 = 6,012\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade comum imediatamente após o choque:
v'=\frac{4,56}{6,012}=\frac{380}{501}\approx 0,75848\\ \mathrm{m/s}.
(Expliquei a fração exata \dfrac{380}{501} porque às vezes ajuda a manter precisão.)

Passo 4

Conversão da energia cinética restante em energia potencial para achar a altura máxima.
  • A energia cinética do conjunto logo após o choque é \dfrac{1}{2}(m_b+M)v'^2.
  • Na altura máxima essa energia virou energia potencial gravitacional (m_b+M)gh. Igualando:
\frac{1}{2}(m_b+M)v'^2 = (m_b+M)g h.
  • Cancela-se (m_b+M) (desde que não seja zero) e obtém-se a fórmula prática:
h=\frac{v'^2}{2g}.
  • Agora substituímos v'=\dfrac{380}{501} e g=9,80\\ \mathrm{m/s^2}:
v'^2=\left(\frac{380}{501}\right)^{\!2}\approx 0,575296,
h=\frac{0,575296}{2\cdot 9,80}=\frac{0,575296}{19,6}\approx 0,02935\\ \mathrm{m}.
  • Convertendo para centímetros:
h\approx 0,02935\\ \mathrm{m}=2,935\\ \mathrm{cm}\approx 2,93\\ \mathrm{cm}.
Observação didática rápida: note que a massa total (m_b+M) cancelou na passagem energia → altura, então a altura depende somente da velocidade v' que, por sua vez, foi determinada pela conservação do momento no choque.

Resposta

2,93\\ \mathrm{cm}

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