- Duas placas paralelas de metal, planas e infinitas, estão separadas por uma distância d. O espaço entre as placas é preenchido por dois meios condutores, sendo a interface entre os meios um plano que é paralelo às placas metálicas. O primeiro meio com condutívídade
e permissividade
tem a espessura a e o segundo com condutividade
, permissivídade
) é de espessura d - a. As placas metálicas se mantêm a potenciais
e
, respectivamente. No estado estacionário, qual o potencial da interface que separa os doís meios? (16 pontos)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo retirado do texto do problema):
- Duas placas metálicas planas e infinitas, paralelas, separadas por uma distância
. - O espaço entre as placas é preenchido por dois meios condutores dispostos em camadas planas, paralelas às placas:
- Meio 1: condutividade
, permissividade , espessura . - Meio 2: condutividade
, permissividade , espessura .
- Meio 1: condutividade
- A interface entre os dois meios é um plano a uma distância
da placa que está no potencial . - As duas placas metálicas estão mantidas aos potenciais fixos
(na placa à esquerda, digamos ) e (na placa à direita, ). - Estado estacionário (regime DC estacionário).
O que o enunciado pede: - Determinar o potencial da interface que separa os dois meios (ou seja,
no ponto ) no estado estacionário.
Passo 2
Definições e leis físicas que usaremos (explicadas de forma didática):
- Coloco um eixo
perpendicular às placas, com na placa de potencial e na placa de potencial . A interface está em . - Potencial elétrico local: uso
para o potencial em qualquer . - Campo elétrico unidimensional:
. Isso vem da definição de campo elétrico como gradiente negativo do potencial (em 1D, derivada). - Lei de Ohm local em forma contínua: a densidade de corrente (vetorial) é
. Em 1D (somente componente normal às placas), isso fica , onde é a condutividade do meio (unidade: S/m). Aqui vale para e para . - Continuidade de corrente no regime estacionário:
implica que, nesta geometria 1D, a densidade de corrente normal é a mesma em toda a linha (não há acúmulo de carga volumétrica em regime estacionário). Logo é constante no eixo . - Importante: o potencial
é uma função contínua; mesmo se o campo mudar de valor ao atravessar a interface (porque muda), o potencial não tem salto descontínuo finito na interface (potencial é contínuo). Portanto existe um único valor a ser determinado.
Passo 3
Relacionar quedas de potencial às condutividades e a corrente (passo a passo das equações):
- Como
é constante, em cada meio temos para e para . Aqui e são as magnitudes do campo elétrico nos respectivos meios (sinais orientais serão tratados pelas equações de potencial abaixo). - Queda de potencial entre a placa esquerda (
) e a interface ( ): Explicação: a diferença de potencial é a integral do campo; como é uniforme no meio 1, a integral é . - Queda de potencial entre a interface (
) e a placa direita ( ): - Somando as duas equações obtemos a diferença total entre as placas:
- Isolando
: Interpretação física: e são análogos a “resistências por unidade de área” das camadas; o denominador é a resistência total por unidade de área e o numerador é a diferença de potencial aplicada.
Passo 4
Calcular explicitamente o potencial da interface usando
:
- Use a expressão da queda na camada 1:
- Substituindo
encontrada no passo anterior: - Podemos reorganizar essa expressão para uma forma mais simétrica e intuitiva (fórmula do divisor de tensão em série):
Verificação rápida do passo algébrico: multiplica-se numerador e denominador pela mesma quantidade para arranjar os termos; a expressão acima é algebricamente equivalente à anterior.
Passo 5
Interpretação e comentários didáticos (como usar isso numa prova):
- A expressão encontrada mostra que a interface assume um potencial que é uma média ponderada dos potenciais das placas, com pesos dados pelas “resistências por unidade de área” das camadas, isto é,
e . Assim: Essa é exatamente a regra do divisor de tensão em dois resistores em série, só que aqui são resistências por unidade de área (área das placas cancela). - Observações úteis para a prova:
- As permissividades
e não entram no resultado em regime estacionário DC com corrente ohmica; elas importariam se o problema envolvesse variações no tempo (corrente de deslocamento) ou capacitores em regime transiente, mas para corrente contínua e regime estacionário só a condutividade importa. - Caso
a interface tem potencial linear entre as placas: . - Limites: se
(meio 2 condutor ideal), então (nenhuma queda na camada 2). Se , então .
- As permissividades