- Dinâmica de rolamento
Uma esfera sólida uniforme é abandonada do repouso sobre uma ladeira que forma um ângulo de
abaixo da horizontal. Para que a esfera role sem deslizar, o atrito estático entre a esfera e a ladeira deve ser suficientemente grande. Qual é o valor mínimo do coeficiente de atrito estático necessário?
□ 0,613
□ 0,408
□ 0,286
□ 0,858
□ 0,500
□ 0,613
□ 0,408
□ 0,286
□ 0,858
□ 0,500
Passo 1
O enunciado pede o coeficiente mínimo de atrito estático necessário para que uma esfera sólida role sem deslizar numa ladeira com ângulo
. Informações relevantes fornecidas:
- A esfera é sólida e uniforme (momento de inércia conhecido para esfera sólida).
- A inclinação da ladeira é
. - Queremos o valor mínimo de
tal que não haja deslizamento (apenas rolamento puro).
Não há outras informações numéricas necessárias.
Passo 2
Descrevendo forças e variáveis (pequena aula prática):
- Adoto o eixo
paralelo à rampa (positivo para baixo ao longo da rampa) e o eixo perpendicular à rampa. - Forças atuantes na esfera:
- Peso:
. A componente ao longo da rampa é (puxa para baixo). - Força de atrito estático:
, atuando para cima da rampa se o movimento tende a deslizar para baixo (é ela que provoca o torque de rolamento). - Força normal:
, perpendicular à rampa, com módulo (não há aceleração no eixo ).
Explicação: para rolamento sem deslizar, o atrito estático fornece o torque que produz aceleração angular; esse atrito é estático (não há deslizamento relativo).
- Peso:
Passo 3
Equações de movimento (aulas rápidas das fórmulas):
- Segunda lei translacional ao longo da rampa:
onde
é a aceleração do centro de massa ao longo da rampa.
- Equação de rotação (torque =
):
onde
é o raio da esfera,
é o momento de inércia da esfera, e
é a aceleração angular. Para rolamento sem deslizamento vale a restrição geométrica
Agora o momento de inércia de uma esfera sólida uniforme em torno do seu centro é
Explicação das variáveis:
massa da esfera,
raio,
medida da distribuição de massa;
é a taxa de variação angular.
Passo 4
Usando
e a relação de rolamento para eliminar
e
:
Da equação de rotação,
Da equação de rotação,
Substituindo
obtemos
Portanto o atrito estático necessário está diretamente proporcional à aceleração
.
Passo 5
Determinar
substituindo
na equação translacional:
Começando de
Começando de
substituindo
,
Dividindo por
e juntando termos em
,
Logo
Comentário: essa é a aceleração do centro de massa da esfera quando rola sem deslizar.
Passo 6
Calcular o atrito
em função de
e então
mínimo:
Usando e o valor de
,
Usando
A força normal é
. O coeficiente mínimo de atrito estático necessário para evitar deslizamento é quando
(situação limite), portanto
Explicação:
. Então a expressão final é simples e universal para esfera sólida.
Passo 7
Avaliação numérica para
:
Calcular . Usando valor tabelado/ calculadora pequena (procedimento que pode usar na prova com tabela ou calculadora):
Calcular
Então
Arredondando para três algarismos significativos (como nas alternativas):
Resposta
0,613