1. Dinâmica de rolamento
Uma esfera sólida uniforme é abandonada do repouso sobre uma ladeira que forma um ângulo de 65,0^{\circ} abaixo da horizontal. Para que a esfera role sem deslizar, o atrito estático entre a esfera e a ladeira deve ser suficientemente grande. Qual é o valor mínimo do coeficiente de atrito estático necessário?
□ 0,613
□ 0,408
□ 0,286
□ 0,858
□ 0,500

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente mínimo de atrito estático necessário para que uma esfera sólida role sem deslizar numa ladeira com ângulo \theta=65{,}0^\circ. Informações relevantes fornecidas:
  • A esfera é sólida e uniforme (momento de inércia conhecido para esfera sólida).
  • A inclinação da ladeira é \theta=65{,}0^\circ.
  • Queremos o valor mínimo de \mu_s tal que não haja deslizamento (apenas rolamento puro).
    Não há outras informações numéricas necessárias.

Passo 2

Descrevendo forças e variáveis (pequena aula prática):
  • Adoto o eixo x paralelo à rampa (positivo para baixo ao longo da rampa) e o eixo y perpendicular à rampa.
  • Forças atuantes na esfera:
    • Peso: \vec{P}=m\vec{g}. A componente ao longo da rampa é m g \sin\theta (puxa para baixo).
    • Força de atrito estático: f, atuando para cima da rampa se o movimento tende a deslizar para baixo (é ela que provoca o torque de rolamento).
    • Força normal: N, perpendicular à rampa, com módulo N=m g \cos\theta (não há aceleração no eixo y).
      Explicação: para rolamento sem deslizar, o atrito estático fornece o torque que produz aceleração angular; esse atrito é estático (não há deslizamento relativo).

Passo 3

Equações de movimento (aulas rápidas das fórmulas):
  • Segunda lei translacional ao longo da rampa:
m g \sin\theta - f = m a,
onde a é a aceleração do centro de massa ao longo da rampa.
  • Equação de rotação (torque = I\alpha):
f r = I \alpha,
onde r é o raio da esfera, I é o momento de inércia da esfera, e \alpha é a aceleração angular. Para rolamento sem deslizamento vale a restrição geométrica
a = r \alpha.
Agora o momento de inércia de uma esfera sólida uniforme em torno do seu centro é
I = \tfrac{2}{5} m r^{2}.
Explicação das variáveis: m massa da esfera, r raio, I medida da distribuição de massa; \alpha é a taxa de variação angular.

Passo 4

Usando I e a relação de rolamento para eliminar \alpha e r:
Da equação de rotação,
f r = I \alpha = I \frac{a}{r} \quad\Rightarrow\quad f = \frac{I}{r^{2}}\,a.
Substituindo I=\tfrac{2}{5} m r^{2} obtemos
f = \frac{\tfrac{2}{5} m r^{2}}{r^{2}}\,a = \tfrac{2}{5} m a.
Portanto o atrito estático necessário está diretamente proporcional à aceleração a.

Passo 5

Determinar a substituindo f na equação translacional:
Começando de
m g \sin\theta - f = m a,
substituindo f=\tfrac{2}{5} m a,
m g \sin\theta - \tfrac{2}{5} m a = m a.
Dividindo por m e juntando termos em a,
g \sin\theta = a + \tfrac{2}{5} a = a\left(1+\tfrac{2}{5}\right)=a\left(\tfrac{7}{5}\right).
Logo
a = \frac{5}{7}\,g \sin\theta.
Comentário: essa é a aceleração do centro de massa da esfera quando rola sem deslizar.

Passo 6

Calcular o atrito f em função de \theta e então \mu_s mínimo:
Usando f=\tfrac{2}{5} m a e o valor de a,
f = \tfrac{2}{5} m \cdot \frac{5}{7} g \sin\theta = \frac{2}{7}\, m g \sin\theta.
A força normal é N = m g \cos\theta. O coeficiente mínimo de atrito estático necessário para evitar deslizamento é quando f = \mu_s N (situação limite), portanto
\mu_{s,\min} = \frac{f}{N} = \frac{\tfrac{2}{7} m g \sin\theta}{m g \cos\theta} = \frac{2}{7}\tan\theta.
Explicação: \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}. Então a expressão final é simples e universal para esfera sólida.

Passo 7

Avaliação numérica para \theta=65{,}0^\circ:
Calcular \tan(65{,}0^\circ). Usando valor tabelado/ calculadora pequena (procedimento que pode usar na prova com tabela ou calculadora):
\tan(65{,}0^\circ)\approx 2{,}14450692.
Então
\mu_{s,\min}=\frac{2}{7}\tan(65{,}0^\circ)\approx \frac{2}{7}\times 2{,}14450692 \approx 0{,}6127.
Arredondando para três algarismos significativos (como nas alternativas):
\mu_{s,\min}\approx 0{,}613.

Resposta

0,613

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