- Energia cinética rotacional
Uma polia uniforme em forma de disco sólido tem massa
e raio
. Para evitar falha estrutural, a aceleração radial máxima permitida em um ponto da borda é
. Qual é a energia cinética rotacional máxima que pode ser armazenada na polia?
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Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Massa da polia:
. - Raio da polia:
. - Aceleração radial (centrípeta) máxima permitida na borda:
.
- Massa da polia:
-
O que é pedido:
- A energia cinética rotacional máxima que a polia pode armazenar sem exceder
em um ponto da borda.
- A energia cinética rotacional máxima que a polia pode armazenar sem exceder
Passo 2
Entendendo a aceleração radial na borda e como isso limita a velocidade angular.
Para um ponto que descreve movimento circular com velocidade angular
, a aceleração radial (centrípeta) na borda de raio
é dada por
Aqui:
-
é a velocidade angular (em ); -
é o raio do ponto considerado (aqui a borda da polia).
A condição de limite é que
. Assim a velocidade angular máxima admissível é
Passo 3
Momento de inércia da polia (disco sólido) — por que e qual expressão usar.
A polia é um disco sólido e uniforme; o momento de inércia de um disco sólido de massa
e raio
em relação ao eixo central é
Explicação curta: o momento de inércia mede como a massa está distribuída em relação ao eixo; para um disco cheio a fórmula padrão é
. Aqui
tem unidades
.
Passo 4
Fórmula da energia cinética rotacional e substituição do momento de inércia.
A energia cinética rotacional de um corpo rígido que gira com velocidade angular
é
Substituindo
obtemos
Passo 5
Eliminando
usando a condição da aceleração radial máxima.
Usando
na expressão de
:
Essa forma é muito conveniente: a energia máxima depende linearmente em
, em
e em
.
Passo 6
Substituição numérica passo a passo e checagem de unidades.
Substituindo
,
e
:
- Primeiro calcule
: - Agora multiplique por
: - Finalmente divida por
:
Em notação científica:
Checagem de unidades:
em
,
em
→ produto em
. Está consistente.
Passo 7
Resumo rápido e incentivo.
Pronto — a energia cinética rotacional máxima segue da combinação da condição de aceleração centrípeta na borda com as fórmulas padrão de momento de inércia e energia rotacional. Dá para calcular isso muito rapidamente na prova lembrando a fórmula final simplificada
e fazendo as multiplicações com cuidado.