1. Energia cinética rotacional
Uma polia uniforme em forma de disco sólido tem massa 70,0 \mathrm{~kg} e raio 1,20 \mathrm{~m}. Para evitar falha estrutural, a aceleração radial máxima permitida em um ponto da borda é 3500 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Qual é a energia cinética rotacional máxima que pode ser armazenada na polia?
1,84 \times 10^{4} \mathrm{~J}
3,68 \times 10^{4} \mathrm{~J}
1,47 \times 10^{5} \mathrm{~J}
7.35 \times 10^{4} \mathrm{~J}
5,25 \times 10^{4} \mathrm{~J}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Massa da polia: M=70{,}0\\ \mathrm{kg}.
    • Raio da polia: r=1{,}20\\ \mathrm{m}.
    • Aceleração radial (centrípeta) máxima permitida na borda: a_{\rm rad,max}=3500\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • O que é pedido:
    • A energia cinética rotacional máxima que a polia pode armazenar sem exceder a_{\rm rad,max} em um ponto da borda.

Passo 2

Entendendo a aceleração radial na borda e como isso limita a velocidade angular.
Para um ponto que descreve movimento circular com velocidade angular \omega, a aceleração radial (centrípeta) na borda de raio r é dada por
a_{\rm rad}=\omega^{2}r.
Aqui:
  • \omega é a velocidade angular (em \mathrm{rad/s});
  • r é o raio do ponto considerado (aqui a borda da polia).
A condição de limite é que a_{\rm rad}\le a_{\rm rad,max}. Assim a velocidade angular máxima admissível é
\omega_{\max}=\sqrt{\dfrac{a_{\rm rad,max}}{r}}.

Passo 3

Momento de inércia da polia (disco sólido) — por que e qual expressão usar.
A polia é um disco sólido e uniforme; o momento de inércia de um disco sólido de massa M e raio r em relação ao eixo central é
I=\tfrac{1}{2}Mr^{2}.
Explicação curta: o momento de inércia mede como a massa está distribuída em relação ao eixo; para um disco cheio a fórmula padrão é \tfrac{1}{2}Mr^{2}. Aqui I tem unidades \mathrm{kg\cdot m^{2}}.

Passo 4

Fórmula da energia cinética rotacional e substituição do momento de inércia.
A energia cinética rotacional de um corpo rígido que gira com velocidade angular \omega é
K=\tfrac{1}{2}I\omega^{2}.
Substituindo I=\tfrac{1}{2}Mr^{2} obtemos
K=\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{2}Mr^{2}\right)\omega^{2}=\tfrac{1}{4}Mr^{2}\omega^{2}.

Passo 5

Eliminando \omega usando a condição da aceleração radial máxima.
Usando \omega^{2}=\dfrac{a_{\rm rad,max}}{r} na expressão de K:
K=\tfrac{1}{4}Mr^{2}\left(\dfrac{a_{\rm rad,max}}{r}\right)=\tfrac{1}{4}M r\, a_{\rm rad,max}.
Essa forma é muito conveniente: a energia máxima depende linearmente em M, em r e em a_{\rm rad,max}.

Passo 6

Substituição numérica passo a passo e checagem de unidades.
Substituindo M=70{,}0\\ \mathrm{kg}, r=1{,}20\\ \mathrm{m} e a_{\rm rad,max}=3500\\ \mathrm{m/s^{2}}:
  • Primeiro calcule r\,a_{\rm rad,max}: r\,a_{\rm rad,max}=1{,}20\cdot3500=4200\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
  • Agora multiplique por M: M\,(r\,a_{\rm rad,max})=70{,}0\cdot4200=294000\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s^{2}}.
  • Finalmente divida por 4: K_{\max}=\tfrac{1}{4}\cdot294000=73500\\ \mathrm{J}.
Em notação científica:
K_{\max}=7{,}35\times10^{4}\\ \mathrm{J}.
Checagem de unidades: M em \mathrm{kg}, r\,a em \mathrm{m^{2}/s^{2}} → produto em \mathrm{kg\cdot m^{2}/s^{2}}=\mathrm{J}. Está consistente.

Passo 7

Resumo rápido e incentivo.
Pronto — a energia cinética rotacional máxima segue da combinação da condição de aceleração centrípeta na borda com as fórmulas padrão de momento de inércia e energia rotacional. Dá para calcular isso muito rapidamente na prova lembrando a fórmula final simplificada
K_{\max}=\tfrac{1}{4}M r\, a_{\rm rad,max},
e fazendo as multiplicações com cuidado.

Resposta

7{,}35\times10^{4}\\ \mathrm{J}

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