Colisores de partículas são um tipo de acelerador de partículas que colide feixes de partículas viajando em direções opostas com altas velocidades, gerando novas partículas no processo. Analisando os resultados de uma colisão (grandemente simplificados para esse problema), você observa que duas partículas de massas \mathrm{M}_{1} e \mathrm{M}_{2} foram geradas viajando no mesmo eixo, mas em direções opostas com rapidez v_{1} e v_{2}. Determine:
a) A velocidade do centro de massa (CM) do sistema formado pelas duas partículas.
b) A velocidade de cada partícula com relação ao CM.
c) A energia cinética total dos dois blocos.
d) A energia cinética de cada bloco com relação ao CM.
e) Demonstre que a diferença entre a energia cinética total e a soma das energias com relação ao CM diferem por um valor igual à energia associada ao movimento do CM.

Passo 1

O enunciado dá duas partículas (ou “blocos”) geradas viajando ao longo do mesmo eixo, em direções opostas, com massas \mathrm{M}_1 e \mathrm{M}_2 e com rapidez (módulo da velocidade) \mathrm{v}_1 e \mathrm{v}_2. Ou seja, temos duas velocidades de mesmo eixo mas sentidos contrários. As perguntas são:
a) Determinar a velocidade do centro de massa (CM) do sistema formado pelas duas partículas.
b) Determinar a velocidade de cada partícula em relação ao CM.
c) Calcular a energia cinética total dos dois blocos (no referencial do laboratório).
d) Calcular a energia cinética de cada bloco no referencial do CM.
e) Mostrar que a diferença entre a energia cinética total e a soma das energias no referencial do CM é igual à energia associada ao movimento do CM.
Obs.: como o enunciado usa as palavras “rapidez” \mathrm{v}_1,\mathrm{v}_2 (que são não-negativas), vou adotar uma convenção de sinais para as velocidades reais: escolho o eixo x tal que a partícula 1 tenha velocidade \;+\mathrm{v}_1\; e a partícula 2 tenha velocidade \;-\mathrm{v}_2\;. Assim toda a conta se faz sem ambiguidade.

Passo 2

Conceito e fórmula do centro de massa (CM).
Para um sistema de partículas, a posição do CM é a média ponderada pelas massas; derivando no tempo obtemos a velocidade do CM como a quantidade de movimento total dividida pela massa total. Em forma algébrica, para duas partículas com velocidades (com sinal) u_1 e u_2 e massas M_1,M_2,
V_{\text{CM}}=\frac{M_1 u_1 + M_2 u_2}{M_1+M_2}.
Aqui V_{\text{CM}} é a velocidade do CM (unidade: mesma unidade de u_i). Explico cada símbolo: M_1,M_2 são as massas; u_1,u_2 são as velocidades vetoriais (com sinal) das partículas; M_1 u_1 + M_2 u_2 é o momento linear total do sistema; e M_1+M_2 é a massa total.

Passo 3

Aplicando a convenção de sinais do Passo 1: u_1=+\mathrm{v}_1 e u_2=-\mathrm{v}_2. Substituindo na fórmula do CM:
V_{\text{CM}}=\frac{M_1\mathrm{v}_1 + M_2(-\mathrm{v}_2)}{M_1+M_2}=\frac{M_1\mathrm{v}_1 - M_2\mathrm{v}_2}{M_1+M_2}.
Isso responde a letra (a). Interpretação rápida: se M_1\mathrm{v}_1 > M_2\mathrm{v}_2 o CM se move no sentido da partícula 1; caso contrário, no sentido da partícula 2.

Passo 4

Velocidades relativas ao CM (parte b).
A velocidade de uma partícula em relação a um referencial que se move com velocidade V_{\text{CM}} é dada por subtrair a velocidade do referencial da velocidade absoluta da partícula (transformação de Galileu). Assim:
  • Velocidade da partícula 1 no referencial do CM:
v_{1,\text{CM}} = u_1 - V_{\text{CM}} = \mathrm{v}_1 - V_{\text{CM}}.
  • Velocidade da partícula 2 no referencial do CM:
v_{2,\text{CM}} = u_2 - V_{\text{CM}} = -\mathrm{v}_2 - V_{\text{CM}}.
Essas são as velocidades (com sinal) vistas do CM. Note que os módulos podem ser diferentes de \mathrm{v}_1,\mathrm{v}_2 dependendo de V_{\text{CM}}.

Passo 5

Energia cinética total no referencial do laboratório (parte c).
Definição: energia cinética de uma partícula de massa M e velocidade (módulo) u é \tfrac12 M u^2. Para duas partículas, a energia cinética total é a soma:
K_{\text{tot}}=\frac12 M_1 u_1^2 + \frac12 M_2 u_2^2.
Usando u_1=\mathrm{v}_1 e u_2=-\mathrm{v}_2 (mas note que u_2^2=\mathrm{v}_2^2), temos
K_{\text{tot}}=\frac12 M_1 \mathrm{v}_1^2 + \frac12 M_2 \mathrm{v}_2^2.

Passo 6

Energia cinética de cada bloco no referencial do CM (parte d).
No referencial do CM usamos as velocidades relativas do Passo 4. Assim:
K_{1,\text{CM}}=\frac12 M_1 (v_{1,\text{CM}})^2=\frac12 M_1\big(\mathrm{v}_1 - V_{\text{CM}}\big)^2,
K_{2,\text{CM}}=\frac12 M_2 (v_{2,\text{CM}})^2=\frac12 M_2\big(-\mathrm{v}_2 - V_{\text{CM}}\big)^2.
A soma das energias no CM é K_{\text{CM-soma}}=K_{1,\text{CM}}+K_{2,\text{CM}}.

Passo 7

Demonstração da relação pedida (parte e). Queremos mostrar que
K_{\text{tot}} - \big(K_{1,\text{CM}}+K_{2,\text{CM}}\big) = \text{energia do CM} = \frac12 (M_1+M_2) V_{\text{CM}}^2.
Fazemos a conta direta: escrevemos a diferença usando as velocidades u_i (com sinal) para manter compacta a manipulação:
\begin{aligned} \Delta &\equiv K_{\text{tot}} - \big(K_{1,\text{CM}}+K_{2,\text{CM}}\big) \\[4pt] &= \frac12\big(M_1 u_1^2 + M_2 u_2^2\big) - \frac12\big(M_1(u_1-V_{\text{CM}})^2 + M_2(u_2-V_{\text{CM}})^2\big). \end{aligned}
Expandindo cada termo u_i^2-(u_i-V)^2 = 2u_i V - V^2, obtemos
\Delta = \frac12\Big(M_1(2u_1 V_{\text{CM}} - V_{\text{CM}}^2) + M_2(2u_2 V_{\text{CM}} - V_{\text{CM}}^2)\Big).
Fatorando,
\Delta = V_{\text{CM}}\big(M_1 u_1 + M_2 u_2\big) - \frac12 V_{\text{CM}}^2 (M_1+M_2).
Mas por definição do CM, M_1 u_1 + M_2 u_2 = (M_1+M_2) V_{\text{CM}}. Substituindo isso,
\Delta = V_{\text{CM}} \big((M_1+M_2) V_{\text{CM}}\big) - \frac12 (M_1+M_2) V_{\text{CM}}^2 = \frac12 (M_1+M_2) V_{\text{CM}}^2.
Portanto
K_{\text{tot}} = K_{1,\text{CM}} + K_{2,\text{CM}} + \frac12 (M_1+M_2) V_{\text{CM}}^2,
ou seja, a diferença pedida é exatamente a energia cinética correspondente à massa total movendo-se com a velocidade do CM. Essa é uma identidade geral (não-relativística): a energia cinética total se decompõe na energia cinética no CM (energia interna/relativa) mais a energia cinética do CM.]

Passo 8

Comentário prático/intuído (motivação para a prova).
  • A fórmula de V_{\text{CM}} vem diretamente da conservação de momento linear: o CM se move com a velocidade tal que todo o momento total é equivalente a massa total vezes essa velocidade.
  • Para águas rápidas: quando trocar de referencial para o CM basta subtrair V_{\text{CM}} das velocidades. A energia total se separa em “movimento coletivo” (CM) mais “movimento relativo” (no CM).
  • Em provas, memorize a identidade
K_{\text{tot}} = K_{\text{CM}} + \tfrac12 M_{\text{tot}} V_{\text{CM}}^2,
onde K_{\text{CM}} é a energia medida no referencial do CM (soma das energias relativas) e M_{\text{tot}}=M_1+M_2.

Resposta

a) \displaystyle V_{\text{CM}}=\frac{M_1\mathrm{v}_1-M_2\mathrm{v}_2}{M_1+M_2}.\n
b) \displaystyle v_{1,\text{CM}}=\mathrm{v}_1 - V_{\text{CM}}, \displaystyle v_{2,\text{CM}}=-\mathrm{v}_2 - V_{\text{CM}}.\n
c) \displaystyle K_{\text{tot}}=\frac12 M_1\mathrm{v}_1^2 + \frac12 M_2\mathrm{v}_2^2.\n
d) \displaystyle K_{1,\text{CM}}=\frac12 M_1\big(\mathrm{v}_1 - V_{\text{CM}}\big)^2,\quad K_{2,\text{CM}}=\frac12 M_2\big(-\mathrm{v}_2 - V_{\text{CM}}\big)^2.\n
e) \displaystyle K_{\text{tot}}-\big(K_{1,\text{CM}}+K_{2,\text{CM}}\big)=\frac12 (M_1+M_2) V_{\text{CM}}^2.

Exercícios relacionados