Em problemas de Engenharia Ambiental a degradação de poluentes é representada pelo modelo geral:
. “Plote” em um mesmo gráfico, e em função do tempo, o decaimento de
, para
e 2,0 . Explique o que acontece quando a ordem da reação (n) é incrementada.
Passo 1
O enunciado pede que a gente “plote, em um mesmo gráfico e em função do tempo, o decaimento de
” para as ordens
,
,
e
. Também pede que expliquemos o que acontece quando a ordem da reação
é incrementada.
Informações dadas (resumindo):
Informações dadas (resumindo):
- Lei de taxa dada:
. - Concentração inicial:
. - Valores de ordem a estudar:
.
Observação importante (decisão que adoto para poder calcular e plotar): para representar “decaimento” é habitual incluir o sinal negativo na taxa (taxa positiva
e consumo de
), então vou trabalhar com a equação de decaimento
Preciso de um valor numérico para
para gerar curvas e comparar. Vou escolher um
típico para ilustração:
(unidade recíproca do tempo). Essa escolha é arbitrária — serve para mostrar claramente as diferenças entre ordens. Se você quiser outro
, me diz que eu recalculo; por enquanto sigo com
.
Passo 2
Vamos achar a solução geral de
com condição inicial
. Existem dois casos distintos a tratar:
e
. Vou integrar passo a passo para cada caso, explicando a técnica.
Caso geral
: separe variáveis e integre. Começamos por escrever
Integramos ambos os lados entre
e
(e de
até
):
A integral do lado esquerdo é uma potência:
(válido porque
). Aplicando limites:
Multiplicando e isolando
:
Finalmente,
Expliquei cada passo: separamos variáveis, integramos a potência e aplicamos a condição inicial.
Caso especial
: a equação fica
. Essa é a equação diferencial linear mais clássica (decay exponencial). Separando variáveis:
A integral dá logaritmo:
Passo 3
Agora vamos aplicar as fórmulas aos quatro casos específicos com
e
. Vou escrever explicitamente a expressão para cada
.
- Para
: usando a fórmula geral com (ou lembrando que é taxa constante), obtemos
Isto é um decréscimo linear com inclinação
.
- Para
: já temos o exponencial
- Para
: aplicando a fórmula geral com (note que e ):
Com
e simplificando
, ficamos com
- Para
: com a fórmula geral dá (abrindo )
Como
,
Passo 4
Para “plotar” no mesmo gráfico você precisa de pontos (tempo, concentração). Vou fornecer uma tabela com valores de
e
para cada curva em tempos representativos
. Usei as fórmulas do Passo 3 e fiz as contas aproximadas (duas casas decimais). Esses números servem para desenhar o gráfico à mão, ou usar Excel/Python/Matlab.
Tabela de valores (aproximações):
-
Para
( ):
t=0:
t=5:
t=10:
t=20: -
Para
( ):
t=0:
t=5:porque
t=10:porque
t=20:porque -
Para
( ):
t=0:(confere)
t=5:
t=10:
t=20: -
Para
( ):
t=0:
t=5:
t=10:
t=20:
Observação sobre a tabela: repare como para
e
a concentração cai brutalmente de
para valores da ordem de
–
já em tempos pequenos (5–20). Para
a queda é significativa mas mais “gradual” (exponencial). Para
a redução é praticamente desprezível nesse intervalo porque a taxa é constante e
é pequeno comparado a
.
Passo 5
Como você “plota” isso na prática (passo a passo, sem mistério):
- Em Excel/LibreOffice: crie uma coluna de tempos (por ex.
ou os pontos acima) e quatro colunas com as fórmulas das curvas: -
-
-
(no Excel use POW()) -
-
- Selecione os quatro conjuntos (tempo versus concentração) e insira um gráfico de linhas. Use escala vertical que acomode 0 a 1000 (ou use escala log para visualizar curvas que variam muito).
- Em Python (matplotlib) a ideia é a mesma: definir vetor de tempos e avaliar as fórmulas ponto a ponto, então plotar as quatro curvas no mesmo eixo.
Dica prática: como as concentrações diferem por ordens de grandeza, um gráfico com escala linear vertical pode “esconder” as curvas que vão para valores muito baixos. Se isso acontecer, faça um gráfico em escala logarítmica vertical (eixo y log) — aí você verá claramente o perfil de decaimento relativo.
Passo 6
Interpretação física e matemática — o que acontece quando a ordem
é incrementada?
- Significado físico da lei de taxa
: a taxa de consumo de depende de . Se cresce, a dependência no valor instantâneo de muda bastante. - Efeito do
quando a concentração inicial é grande (no nosso caso nas unidades escolhidas): para ordens maiores ( ) a taxa inicial aumenta muito porque cresce com . Assim reações de ordem maior mostram um decaimento muito rápido no início (vimos e caírem a valores muito baixos em tempos curtos). Em suma: com grande, aumentar acelera fortemente o decaimento inicial. - Efeito quando
é pequeno (menor que 1 nas mesmas unidades): o contrário acontece — diminui quando aumenta, então taxas iniciais ficam menores e decaimento fica mais lento. - Comportamento de longo prazo:
- Para
temos decaimento exponencial — tende a zero assintoticamente, com uma “cauda” exponencial. - Para
a queda segue leis do tipo potência inversa no tempo (por exemplo, para para grande), também tendendo a zero quando , mas com perfil diferente do exponencial (piora ou melhora dependendo do regime). - Para
(não pedido aqui, mas bom saber) é possível atingir em tempo finito — para isso acontece em , e para existe também tempo finito de esgotamento. Para não há tempo finito de esgotamento — tende a zero assintoticamente.
- Para
- Resumindo intuitivamente: aumentar
concentra a sensibilidade da taxa na magnitude de . Se você começa com muito poluente ( grande), ordens maiores drenam o poluente muito rápido no começo. Se você começa com concentração muito baixa, ordens altas tornam a reação praticamente lenta.
(Eu sei que é muita informação de uma vez — mas calma: o que é crucial para a prova é saber as fórmulas fechadas para
e
, como integrar separando variáveis, e interpretar o sinal da potência com relação a
. Você já tem a técnica para resolver qualquer caso parecido.)
Resposta
As soluções (com
ilustrativo) são:
Conclusão sobre o efeito de aumentar
: ao incrementar
a taxa inicial
cresce quando
, o que faz o decaimento ser muito mais rápido para ordens maiores (como vimos numericamente para
e
). Se
, o efeito é o oposto: ordens maiores diminuem a taxa inicial e retardam o decaimento.