Em problemas de Engenharia Ambiental a degradação de poluentes é representada pelo modelo geral: \mathrm{dC} / \mathrm{dt}=\mathrm{k} . \mathrm{C}^{\mathrm{n}}. “Plote” em um mesmo gráfico, e em função do tempo, o decaimento de \mathrm{C}_{\mathrm{o}}=1000 \mathrm{~g} / \mathrm{m}^{3}, para \mathrm{n}= 0 ; 1,0 ; 1,5 e 2,0 . Explique o que acontece quando a ordem da reação (n) é incrementada.

Passo 1

O enunciado pede que a gente “plote, em um mesmo gráfico e em função do tempo, o decaimento de C_0=1000\\ \mathrm{g}/\mathrm{m}^3” para as ordens n=0, n=1{,}0, n=1{,}5 e n=2{,}0. Também pede que expliquemos o que acontece quando a ordem da reação n é incrementada.
Informações dadas (resumindo):
  • Lei de taxa dada: \displaystyle \frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}t}=k\cdot C^{n}.
  • Concentração inicial: \displaystyle C(0)=C_0=1000\\ \mathrm{g}/\mathrm{m}^3.
  • Valores de ordem a estudar: n=0,\;1{,}0,\;1{,}5,\;2{,}0.
Observação importante (decisão que adoto para poder calcular e plotar): para representar “decaimento” é habitual incluir o sinal negativo na taxa (taxa positiva k e consumo de C), então vou trabalhar com a equação de decaimento
\displaystyle \frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}t} = -k\,C^{n},\qquad k>0.
Preciso de um valor numérico para k para gerar curvas e comparar. Vou escolher um k típico para ilustração: \displaystyle k=0{,}1 (unidade recíproca do tempo). Essa escolha é arbitrária — serve para mostrar claramente as diferenças entre ordens. Se você quiser outro k, me diz que eu recalculo; por enquanto sigo com k=0{,}1.

Passo 2

Vamos achar a solução geral de \displaystyle \frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}t} = -k\,C^{n} com condição inicial C(0)=C_0. Existem dois casos distintos a tratar: n=1 e n\neq 1. Vou integrar passo a passo para cada caso, explicando a técnica.
Caso geral n\neq 1: separe variáveis e integre. Começamos por escrever
C^{-n}\,\mathrm{d}C = -k\,\mathrm{d}t.
Integramos ambos os lados entre t=0 e t (e de C_0 até C(t)):
\int_{C_0}^{C(t)} C^{-n}\,\mathrm{d}C = -k\int_{0}^{t}\mathrm{d}t.
A integral do lado esquerdo é uma potência: \displaystyle \int C^{-n}\mathrm{d}C = \frac{C^{1-n}}{1-n} (válido porque n\neq 1). Aplicando limites:
\frac{C(t)^{\,1-n} - C_0^{\,1-n}}{1-n} = -k t.
Multiplicando e isolando C(t)^{\,1-n}:
C(t)^{\,1-n} = C_0^{\,1-n} + (n-1)\,k\,t.
Finalmente,
\boxed{\,C(t) = \bigl[\,C_0^{\,1-n} + (n-1)\,k\,t\,\bigr]^{\frac{1}{1-n}},\qquad (n\neq 1)\,.}
Expliquei cada passo: separamos variáveis, integramos a potência e aplicamos a condição inicial.
Caso especial n=1: a equação fica \displaystyle \frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}t} = -k C. Essa é a equação diferencial linear mais clássica (decay exponencial). Separando variáveis:
\frac{\mathrm{d}C}{C} = -k\,\mathrm{d}t \quad\Rightarrow\quad \int_{C_0}^{C(t)}\frac{\mathrm{d}C}{C} = -k\int_{0}^{t}\mathrm{d}t.
A integral dá logaritmo:
\ln\!\biggl(\frac{C(t)}{C_0}\biggr) = -k t \quad\Rightarrow\quad \boxed{\,C(t)=C_0\,\mathrm{e}^{-k t},\qquad (n=1)\,.}

Passo 3

Agora vamos aplicar as fórmulas aos quatro casos específicos com C_0=1000\\ \mathrm{g}/\mathrm{m}^3 e k=0{,}1. Vou escrever explicitamente a expressão para cada n.
  • Para n=0: usando a fórmula geral com n=0 (ou lembrando que \mathrm{d}C/\mathrm{d}t = -k é taxa constante), obtemos
\boxed{\,C(t)=C_0 - k t = 1000 - 0{,}1\,t\,.}
Isto é um decréscimo linear com inclinação -k.
  • Para n=1{,}0: já temos o exponencial
\boxed{\,C(t)=1000\,\mathrm{e}^{-0{,}1\,t}\,.}
  • Para n=1{,}5: aplicando a fórmula geral com n=1{,}5 (note que 1-n=-0{,}5 e \frac{1}{1-n}=-2):
C(t)=\bigl[\,C_0^{\,1-1{,}5} + (1{,}5-1)\,k\,t\,\bigr]^{\frac{1}{1-1{,}5}} = \bigl[\,C_0^{-0{,}5} + 0{,}5\cdot 0{,}1\cdot t\,\bigr]^{-2}.
Com C_0=1000 e simplificando C_0^{-0{,}5}=1/\sqrt{1000}\approx 0{,}0316228, ficamos com
\boxed{\,C(t)=\bigl[\,0{,}0316228 + 0{,}05\,t\,\bigr]^{-2}\,.}
  • Para n=2{,}0: com n=2 a fórmula geral dá (abrindo 1/(1-n)=-1)
C(t) = \bigl[\,C_0^{\,1-2} + (2-1)\,k\,t\,\bigr]^{-1} = \bigl[\,C_0^{-1} + k t\,\bigr]^{-1}.
Como C_0^{-1}=1/1000=0{,}001,
\boxed{\,C(t)=\frac{1}{0{,}001 + 0{,}1\,t}\,.}

Passo 4

Para “plotar” no mesmo gráfico você precisa de pontos (tempo, concentração). Vou fornecer uma tabela com valores de t e C(t) para cada curva em tempos representativos t=0,\;5,\;10,\;20. Usei as fórmulas do Passo 3 e fiz as contas aproximadas (duas casas decimais). Esses números servem para desenhar o gráfico à mão, ou usar Excel/Python/Matlab.
Tabela de valores (aproximações):
  • Para n=0 ( C(t)=1000-0{,}1t):
    t=0: C=1000{,}00
    t=5: C=999{,}50
    t=10: C=999{,}00
    t=20: C=998{,}00
  • Para n=1{,}0 ( C(t)=1000\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}):
    t=0: C=1000{,}00
    t=5: C\approx 606{,}53 porque \mathrm{e}^{-0{,}5}\approx 0{,}60653
    t=10: C\approx 367{,}88 porque \mathrm{e}^{-1}\approx 0{,}36788
    t=20: C\approx 135{,}34 porque \mathrm{e}^{-2}\approx 0{,}13534
  • Para n=1{,}5 ( C(t)=[\,0{,}0316228 + 0{,}05t\,]^{-2}):
    t=0: C\approx (0{,}0316228)^{-2}=1000{,}00 (confere)
    t=5: C\approx [0{,}0316228+0{,}25]^{-2}=[0{,}2816228]^{-2}\approx 12{,}61
    t=10: C\approx [0{,}0316228+0{,}5]^{-2}=[0{,}5316228]^{-2}\approx 3{,}54
    t=20: C\approx [0{,}0316228+1{,}0]^{-2}=[1{,}0316228]^{-2}\approx 0{,}94
  • Para n=2{,}0 ( C(t)=1/(0{,}001+0{,}1t)):
    t=0: C=1/(0{,}001)=1000{,}00
    t=5: C=1/(0{,}001+0{,}5)=1/0{,}501\approx 1{,}996
    t=10: C=1/(0{,}001+1{,}0)=1/1{,}001\approx 0{,}999
    t=20: C=1/(0{,}001+2{,}0)=1/2{,}001\approx 0{,}50
Observação sobre a tabela: repare como para n=1{,}5 e n=2{,}0 a concentração cai brutalmente de 1000 para valores da ordem de 1 10 já em tempos pequenos (5–20). Para n=1 a queda é significativa mas mais “gradual” (exponencial). Para n=0 a redução é praticamente desprezível nesse intervalo porque a taxa é constante e k é pequeno comparado a C_0.

Passo 5

Como você “plota” isso na prática (passo a passo, sem mistério):
  • Em Excel/LibreOffice: crie uma coluna de tempos (por ex. t=0,1,2,\dots,20 ou os pontos acima) e quatro colunas com as fórmulas das curvas:
    • n=0:\;=1000-0{,}1*t
    • n=1:\;=1000*EXP(-0{,}1*t)
    • n=1{,}5:\;=(0{,}0316228+0{,}05*t)^{-2} (no Excel use POW())
    • n=2:\;=1/(0{,}001+0{,}1*t)
  • Selecione os quatro conjuntos (tempo versus concentração) e insira um gráfico de linhas. Use escala vertical que acomode 0 a 1000 (ou use escala log para visualizar curvas que variam muito).
  • Em Python (matplotlib) a ideia é a mesma: definir vetor de tempos e avaliar as fórmulas ponto a ponto, então plotar as quatro curvas no mesmo eixo.
Dica prática: como as concentrações diferem por ordens de grandeza, um gráfico com escala linear vertical pode “esconder” as curvas que vão para valores muito baixos. Se isso acontecer, faça um gráfico em escala logarítmica vertical (eixo y log) — aí você verá claramente o perfil de decaimento relativo.

Passo 6

Interpretação física e matemática — o que acontece quando a ordem n é incrementada?
  • Significado físico da lei de taxa \displaystyle \frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}t}=-kC^{n}: a taxa de consumo de C depende de C^{n}. Se n cresce, a dependência no valor instantâneo de C muda bastante.
  • Efeito do n quando a concentração inicial C_0 é grande (no nosso caso C_0=1000\gg 1 nas unidades escolhidas): para ordens maiores ( n>1) a taxa inicial |\mathrm{d}C/\mathrm{d}t| = kC_0^{n} aumenta muito porque C_0^{n} cresce com n. Assim reações de ordem maior mostram um decaimento muito rápido no início (vimos n=1{,}5 e n=2 caírem a valores muito baixos em tempos curtos). Em suma: com C_0 grande, aumentar n acelera fortemente o decaimento inicial.
  • Efeito quando C_0 é pequeno (menor que 1 nas mesmas unidades): o contrário acontece — C_0^{n} diminui quando n aumenta, então taxas iniciais ficam menores e decaimento fica mais lento.
  • Comportamento de longo prazo:
    • Para n=1 temos decaimento exponencial — tende a zero assintoticamente, com uma “cauda” exponencial.
    • Para n>1 a queda segue leis do tipo potência inversa no tempo (por exemplo, para n=2 C(t)\sim 1/(k t) para t grande), também tendendo a zero quando t\to\infty, mas com perfil diferente do exponencial (piora ou melhora dependendo do regime).
    • Para n<1 (não pedido aqui, mas bom saber) é possível atingir C=0 em tempo finito — para n=0 isso acontece em t=C_0/k, e para 0<n<1 existe também tempo finito de esgotamento. Para n\ge 1 não há tempo finito de esgotamento — C tende a zero assintoticamente.
  • Resumindo intuitivamente: aumentar n concentra a sensibilidade da taxa na magnitude de C. Se você começa com muito poluente ( C_0 grande), ordens maiores drenam o poluente muito rápido no começo. Se você começa com concentração muito baixa, ordens altas tornam a reação praticamente lenta.
(Eu sei que é muita informação de uma vez — mas calma: o que é crucial para a prova é saber as fórmulas fechadas para n\neq 1 e n=1, como integrar separando variáveis, e interpretar o sinal da potência com relação a C_0. Você já tem a técnica para resolver qualquer caso parecido.)

Resposta

As soluções (com k=0{,}1 ilustrativo) são:
n=0:\;C(t)=1000-0{,}1\,t.
n=1{,}0:\;C(t)=1000\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}.
n=1{,}5:\;C(t)=\bigl[\,0{,}0316228 + 0{,}05\,t\,\bigr]^{-2}.
n=2{,}0:\;C(t)=\dfrac{1}{0{,}001 + 0{,}1\,t}.
Conclusão sobre o efeito de aumentar n: ao incrementar n a taxa inicial |\mathrm{d}C/\mathrm{d}t|=kC_0^{n} cresce quando C_0>1, o que faz o decaimento ser muito mais rápido para ordens maiores (como vimos numericamente para n=1{,}5 e n=2{,}0). Se C_0<1, o efeito é o oposto: ordens maiores diminuem a taxa inicial e retardam o decaimento.

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