Considere que uma partícula 1, de massa m_{1}, se movendo ao longo da horizontal sofre uma colisão elástica com uma partícula 2 , de massa \mathrm{m}_{2}, inicialmente em repouso. Determine a razão \mathrm{m}_{1} / \mathrm{m}_{2} para o caso de uma colisão frontal depois da qual as partículas se movem em direções opostas com velocidades de mesma magnitude.

Passo 1

Resumo do que o enunciado dá e pede:
  • Temos duas partículas numa colisão frontal (movimento numa linha horizontal).
  • Massa da partícula 1: \,m_1.
  • Massa da partícula 2: \,m_2.
  • Inicialmente, a partícula 1 está se movendo (velocidade inicial que vou chamar de \,u) e a partícula 2 está em repouso (velocidade inicial 0).
  • A colisão é elástica.
  • Depois da colisão, as duas partículas movem-se em direções opostas com velocidades de mesma magnitude. Vou chamar essa magnitude comum de \,v. Ou seja: após a colisão a partícula 1 tem velocidade -v (oposta à direção inicial) e a partícula 2 tem velocidade +v.
  • O que o enunciado pede: determinar a razão \dfrac{m_1}{m_2}.

Passo 2

Definindo variáveis e as leis físicas que vamos usar (explicadas com calma):
  • Denoto a velocidade inicial da partícula 1 por \,u (positivo, direção inicial).
  • Denoto a magnitude comum das velocidades após colisão por \,v>0. Então as velocidades depois são: \text{partícula 1: } -v,\qquad \text{partícula 2: } +v.íí
  • Colisão elástica em uma dimensão conserva duas grandezas importantes:
    1. Momento linear (quantidade de movimento): para cada partícula é \,p=m v. Conservação do momento total significa: \text{momento inicial}=\text{momento final}.
    2. Energia cinética: para cada partícula é \tfrac{1}{2}m v^2. Em colisão elástica, a energia cinética total também se conserva: \text{energia cinética inicial}=\text{energia cinética final}.éé
  • Vou escrever explicitamente as equações dessas duas conservações usando as variáveis \,m_1,m_2,u,v.

Passo 3

Escrevendo a conservação do momento linear:
  • Momento inicial: somente a partícula 1 está em movimento, então \,p_{\text{inicial}}=m_1 u.
  • Momento final: somando os momentos das duas partículas, p_{\text{final}}=m_1(-v)+m_2(v) = -m_1 v + m_2 v.
  • Igualando inicial e final: m_1 u = -m_1 v + m_2 v.
  • Reorganizando para ficar mais prática: m_1(u+v)=m_2 v.
Esta é a equação (1) que relaciona u, v, m_1 e m_2.

Passo 4

Escrevendo a conservação da energia cinética:
  • Energia cinética inicial: somente a partícula 1 tem energia inicial, E_{\text{inicial}}=\tfrac{1}{2}m_1 u^2.
  • Energia cinética final: soma das duas energias com magnitudes v, E_{\text{final}}=\tfrac{1}{2}m_1 v^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v^2 = \tfrac{1}{2}v^2(m_1+m_2).
  • Igualando inicial e final e cancelando o fator \tfrac{1}{2}: m_1 u^2 = v^2 (m_1 + m_2).
Esta é a equação (2).

Passo 5

Isolando u em termos de v a partir da equação de energia:
  • Da equação (2), u^2 = v^2\frac{m_1+m_2}{m_1}.
  • Tomando raiz positiva (lembre que u>0 e v>0), u = v\sqrt{\frac{m_1+m_2}{m_1}}.
Explanação curta sobre essa etapa: isso veio de dividir os dois lados por m_1 e por v^2. O termo \sqrt{\dfrac{m_1+m_2}{m_1}} é adimensional e dá quanto maior é a velocidade inicial em relação a v.

Passo 6

Substituindo essa expressão de u na equação do momento para eliminar u e obter uma relação entre as massas:
  • A equação do momento (1) era m_1(u+v)=m_2 v.
  • Substituindo u = v\sqrt{\dfrac{m_1+m_2}{m_1}}: m_1\!\left(v\sqrt{\frac{m_1+m_2}{m_1}} + v\right) = m_2 v.
  • Dividindo ambos os lados por v (que é não nulo): m_1\left(\sqrt{\frac{m_1+m_2}{m_1}} + 1\right) = m_2.

Passo 7

Trocar para a razão procurada e resolver explicitamente:
  • Defina a razão que queremos: \displaystyle r=\frac{m_1}{m_2}. Então m_1 = r m_2.
  • Substituindo na última equação: r m_2\left(\sqrt{\frac{r m_2 + m_2}{r m_2}} + 1\right) = m_2.
  • Simplificando dividindo por m_2 e simplificando dentro da raiz: r\left(\sqrt{\frac{r+1}{r}} + 1\right) = 1.
  • Vamos isolar a raiz. Primeiro divida por r: \sqrt{\frac{r+1}{r}} + 1 = \frac{1}{r}.
  • Subtraia 1: \sqrt{\frac{r+1}{r}} = \frac{1}{r} - 1 = \frac{1-r}{r}.
  • Agora elevate ao quadrado ambos os lados (lembre de checar sinais depois): \frac{r+1}{r} = \left(\frac{1-r}{r}\right)^2 = \frac{(1-r)^2}{r^2}.
  • Multiplicando ambos os lados por r^2: r(r+1) = (1-r)^2.
  • Expandindo os dois lados: r^2 + r = 1 - 2r + r^2.
  • Cancelando r^2 de ambos os lados: r = 1 - 2r.
  • Somando 2r a ambos os lados: 3r = 1.
  • Portanto r = \frac{1}{3}.

Passo 8

Verificação física rápida e interpretação (útil para a prova):
  • Encontramos \,r=\dfrac{m_1}{m_2}=\dfrac{1}{3}, ou seja, \,m_1=\dfrac{1}{3}m_2. Isso significa que a partícula 1 deve ser mais leve que a partícula 2 para, após a colisão, elas seguirem em sentidos opostos com mesma magnitude de velocidade (faz sentido: a partícula leve “rebate” e a pesada segue adiante com a mesma rapidez em módulo).
  • Checagem de consistência com sinais: na derivação assumimos u>0 e v>0 e que a expressão obtida para u bate com a expressão que veio do momento, e o resultado r<1 é coerente com a necessidade de u>0.

Resposta

\dfrac{m_1}{m_2}=\dfrac{1}{3}

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