Considere que uma partícula 1, de massa
, se movendo ao longo da horizontal sofre uma colisão elástica com uma partícula 2 , de massa
, inicialmente em repouso. Determine a razão
para o caso de uma colisão frontal depois da qual as partículas se movem em direções opostas com velocidades de mesma magnitude.
Passo 1
Resumo do que o enunciado dá e pede:
- Temos duas partículas numa colisão frontal (movimento numa linha horizontal).
- Massa da partícula 1:
. - Massa da partícula 2:
. - Inicialmente, a partícula 1 está se movendo (velocidade inicial que vou chamar de
) e a partícula 2 está em repouso (velocidade inicial ). - A colisão é elástica.
- Depois da colisão, as duas partículas movem-se em direções opostas com velocidades de mesma magnitude. Vou chamar essa magnitude comum de
. Ou seja: após a colisão a partícula 1 tem velocidade (oposta à direção inicial) e a partícula 2 tem velocidade . - O que o enunciado pede: determinar a razão
.
Passo 2
Definindo variáveis e as leis físicas que vamos usar (explicadas com calma):
- Denoto a velocidade inicial da partícula 1 por
(positivo, direção inicial). - Denoto a magnitude comum das velocidades após colisão por
. Então as velocidades depois são: - Colisão elástica em uma dimensão conserva duas grandezas importantes:
- Momento linear (quantidade de movimento): para cada partícula é
. Conservação do momento total significa: - Energia cinética: para cada partícula é
. Em colisão elástica, a energia cinética total também se conserva:
- Momento linear (quantidade de movimento): para cada partícula é
- Vou escrever explicitamente as equações dessas duas conservações usando as variáveis
.
Passo 3
Escrevendo a conservação do momento linear:
- Momento inicial: somente a partícula 1 está em movimento, então
. - Momento final: somando os momentos das duas partículas,
- Igualando inicial e final:
- Reorganizando para ficar mais prática:
Esta é a equação (1) que relaciona
,
,
e
.
Passo 4
Escrevendo a conservação da energia cinética:
- Energia cinética inicial: somente a partícula 1 tem energia inicial,
- Energia cinética final: soma das duas energias com magnitudes
, - Igualando inicial e final e cancelando o fator
:
Esta é a equação (2).
Passo 5
Isolando
em termos de
a partir da equação de energia:
- Da equação (2),
- Tomando raiz positiva (lembre que
e ),
Explanação curta sobre essa etapa: isso veio de dividir os dois lados por
e por
. O termo
é adimensional e dá quanto maior é a velocidade inicial em relação a
.
Passo 6
Substituindo essa expressão de
na equação do momento para eliminar
e obter uma relação entre as massas:
- A equação do momento (1) era
- Substituindo
: - Dividindo ambos os lados por
(que é não nulo):
Passo 7
Trocar para a razão procurada e resolver explicitamente:
- Defina a razão que queremos:
. Então . - Substituindo na última equação:
- Simplificando dividindo por
e simplificando dentro da raiz: - Vamos isolar a raiz. Primeiro divida por
: - Subtraia 1:
- Agora elevate ao quadrado ambos os lados (lembre de checar sinais depois):
- Multiplicando ambos os lados por
: - Expandindo os dois lados:
- Cancelando
de ambos os lados: - Somando
a ambos os lados: - Portanto
Passo 8
Verificação física rápida e interpretação (útil para a prova):
- Encontramos
, ou seja, . Isso significa que a partícula 1 deve ser mais leve que a partícula 2 para, após a colisão, elas seguirem em sentidos opostos com mesma magnitude de velocidade (faz sentido: a partícula leve “rebate” e a pesada segue adiante com a mesma rapidez em módulo). - Checagem de consistência com sinais: na derivação assumimos
e e que a expressão obtida para bate com a expressão que veio do momento, e o resultado é coerente com a necessidade de .