Coloca-se uma barra de metal à temperatura de 100^-0 C em um quarto com temperatura constante de 0^circ C. Se, após 20 min , a temperatura da barra é de 50^circ C, determine:
(a) O tempo necessário para que a barra chegue à temperatura de 25^circ C.

Passo 1

O enunciado dá uma barra metálica iniciando a 100 °C colocada num ambiente a 0 °C, e depois de 20 min a barra estabiliza em 50 °C. O conteúdo é a Lei de Resfriamento de Newton, que diz que a temperatura da barra segue um decaimento exponencial em função do tempo. Vamos usar a fórmula geral T(t)=Ts+(T0-Ts)e^-kt, determinar a constante k a partir dos dados de 20 min e depois achar o tempo em que T(t)=25 °C.

Passo 2

Começando a modelar: como a temperatura do ambiente é Ts=0 °C e a inicial da barra é T0=100 °C, a equação fica
T(t)=100e^-kt
Usando a condição T(20)=50 °C, temos
50=100e^-20k
que implica
e^-20k=0.5,
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-20k=ln(0.5)=-ln2Longrightarrow k=ln220

Passo 3

Agora determinamos o tempo t para a temperatura chegar a 25 °C. Partindo de
25=100e^-kt
e isolando, vem
e^-kt=0.25implies -kt=ln(0.25)=-ln4implies t=ln4k
Substituindo k=tfracln220, obtemos
t=ln4(ln2)/20=20ln4ln2=20cdot2=40,min

Resposta

40 minutos

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