Use uma série de potências para calcular, com precisão de quatro casas decimais, o valor da quantidade dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a quarta raiz de $ e $, ou seja, $ \sqrt[4]{e} $, usando uma série de potências. O conteúdo que vamos usar aqui envolve séries de Taylor e a expansão em série da função exponencial. Para isso, vamos precisar entender como expandir $ e^x $ em série e depois aplicar isso para encontrar $ e^{1/4} $.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever $ \sqrt[4]{e} $ de uma forma que nos ajude a usar a série de potências. Sabemos que:
Então, nosso objetivo é calcular $ e^{\frac{1}{4}} $ usando a expansão em série da função exponencial.
Passo 3
A série de potências para a função exponencial $ e^x $ é dada por:
Vamos usar essa expansão para $ x = \frac{1}{4} $, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada termo dessa série até que a soma alcance a precisão de quatro casas decimais. Vamos calcular os primeiros termos:
- Primeiro termo: $ 1 $
- Segundo termo: $ \frac{1}{4} = 0,25 $
- Terceiro termo: $ \frac{\left(\frac{1}{4}\right)^2}{2!} = \frac{1}{16 \times 2} = \frac{1}{32} \approx 0,03125 $
- Quarto termo: $ \frac{\left(\frac{1}{4}\right)^3}{3!} = \frac{1}{64 \times 6} = \frac{1}{384} \approx 0,0026041667 $
- Quinto termo: $ \frac{\left(\frac{1}{4}\right)^4}{4!} = \frac{1}{256 \times 24} = \frac{1}{6144} \approx 0,0001627604 $
Passo 5
Vamos somar os termos calculados até obter a precisão desejada:
Como o próximo termo será ainda menor que $ 0,0001 $, podemos parar aqui, já que nossa precisão é de quatro casas decimais.
Resposta
Com a soma dos termos, temos que a quarta raiz de $ e $ é aproximadamente: