Mostre que
e
são irracionais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que
,
e
são números irracionais. A matéria que vamos mexer aqui é sobre números racionais e irracionais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um número ser irracional e usar alguns argumentos matemáticos para provar que esses números não podem ser escritos como uma fração de dois inteiros.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um número irracional. Um número irracional é aquele que não pode ser expresso como a razão de dois números inteiros, ou seja, não pode ser escrito na forma
, onde
e
são inteiros e
. Exemplos clássicos são
e
.
Passo 3
Vamos começar mostrando que
é irracional. Suponha, para entrar na contradição, que
seja racional. Isso significa que podemos escrever
, onde
e
são inteiros sem fatores comuns (fração irredutível).
Passo 4
Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Isso implica que
é múltiplo de 3, e portanto,
também deve ser múltiplo de 3 (porque o quadrado de um número não múltiplo de 3 não é múltiplo de 3).
Passo 5
Se
é múltiplo de 3, podemos escrever
, onde
é um inteiro. Substituindo de volta na equação:
Isso mostra que
também é múltiplo de 3, o que significa que
é múltiplo de 3.
Passo 6
Mas agora, tanto
quanto
são múltiplos de 3, o que contradiz a nossa suposição inicial de que a fração
estava em sua forma mais simplificada (sem fatores comuns). Portanto, nossa suposição de que
é racional está errada. Logo,
é irracional.
Passo 7
Agora, vamos mostrar que
é irracional. Suponha que seja racional, ou seja,
, onde
é um número racional.
Passo 8
Isolando um dos termos, temos:
Se
é racional e
é irracional, a diferença entre um número racional e um irracional seria irracional. Mas isso implicaria que
é irracional, o que já sabemos que é verdadeiro, mas estamos tentando mostrar que a soma é irracional.
Passo 9
Na verdade, para provar que
é irracional, podemos assumir o contrário: suponha que seja racional. Então, como mostrado acima, teríamos uma igualdade envolvendo números racionais e irracionais que não se sustentaria. Portanto, nossa suposição está errada e
deve ser irracional.
Passo 10
Por fim, vamos provar que
é irracional. Suponha que seja racional, ou seja,
, onde
é racional.
Passo 11
Isolando a raiz:
O lado direito é a diferença de dois números racionais, o que é racional. Mas sabemos que
é irracional, o que cria uma contradição. Portanto, nossa suposição está errada e
é irracional.
Resposta
Portanto, mostramos que
,
e
são de fato números irracionais.