Mostre que raiz3, raiz2+raiz3 e 1+raiz2 são irracionais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que raiz3, raiz2+raiz3 e 1+raiz2 são números irracionais. A matéria que vamos mexer aqui é sobre números racionais e irracionais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um número ser irracional e usar alguns argumentos matemáticos para provar que esses números não podem ser escritos como uma fração de dois inteiros.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um número irracional. Um número irracional é aquele que não pode ser expresso como a razão de dois números inteiros, ou seja, não pode ser escrito na forma ab, onde a e b são inteiros e b neq 0. Exemplos clássicos são raiz2 e pi.

Passo 3

Vamos começar mostrando que raiz3 é irracional. Suponha, para entrar na contradição, que raiz3 seja racional. Isso significa que podemos escrever raiz3 = ab, onde a e b são inteiros sem fatores comuns (fração irredutível).

Passo 4

Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:
3 = a^2b^2
Multiplicando ambos os lados por b^2:
3b^2 = a^2
Isso implica que a^2 é múltiplo de 3, e portanto, a também deve ser múltiplo de 3 (porque o quadrado de um número não múltiplo de 3 não é múltiplo de 3).

Passo 5

Se a é múltiplo de 3, podemos escrever a = 3k, onde k é um inteiro. Substituindo de volta na equação:
3b^2 = (3k)^2 3b^2 = 9k^2 b^2 = 3k^2
Isso mostra que b^2 também é múltiplo de 3, o que significa que b é múltiplo de 3.

Passo 6

Mas agora, tanto a quanto b são múltiplos de 3, o que contradiz a nossa suposição inicial de que a fração ab estava em sua forma mais simplificada (sem fatores comuns). Portanto, nossa suposição de que raiz3 é racional está errada. Logo, raiz3 é irracional.

Passo 7

Agora, vamos mostrar que raiz2 + raiz3 é irracional. Suponha que seja racional, ou seja, raiz2 + raiz3 = r, onde r é um número racional.

Passo 8

Isolando um dos termos, temos:
raiz3 = r - raiz2
Se r é racional e raiz2 é irracional, a diferença entre um número racional e um irracional seria irracional. Mas isso implicaria que raiz3 é irracional, o que já sabemos que é verdadeiro, mas estamos tentando mostrar que a soma é irracional.

Passo 9

Na verdade, para provar que raiz2 + raiz3 é irracional, podemos assumir o contrário: suponha que seja racional. Então, como mostrado acima, teríamos uma igualdade envolvendo números racionais e irracionais que não se sustentaria. Portanto, nossa suposição está errada e raiz2 + raiz3 deve ser irracional.

Passo 10

Por fim, vamos provar que 1 + raiz2 é irracional. Suponha que seja racional, ou seja, 1 + raiz2 = s, onde s é racional.

Passo 11

Isolando a raiz:
raiz2 = s - 1
O lado direito é a diferença de dois números racionais, o que é racional. Mas sabemos que raiz2 é irracional, o que cria uma contradição. Portanto, nossa suposição está errada e 1 + raiz2 é irracional.

Resposta

Portanto, mostramos que raiz3, raiz2+raiz3 e 1+raiz2 são de fato números irracionais.

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