Indicar as propriedades da multiplicação utilizadas na seguinte equivalência
2 x=4 Leftrightarrow x=42=2

Passo 1

Temos a equação 2x = 4. O conteúdo aqui é resolução de equação do 1º grau por meio das propriedades da multiplicação. Vamos precisar usar a propriedade da igualdade que permite multiplicar ambos os lados por um mesmo número, e a propriedade do inverso multiplicativo para “cancelar” o coeficiente de x.

Passo 2

Para manter a igualdade válida, usamos a propriedade multiplicativa da igualdade: se a = b, então a c = b c para qualquer cneq 0. Aqui escolhemos c = tfrac12, o inverso de 2, e multiplicamos ambos os lados de 2x = 4 por tfrac12:
tfrac12 cdot (2x) = tfrac12 cdot 4
Agora aplicamos a propriedade do inverso multiplicativo: 2 cdot tfrac12 = 1. Como a multiplicação é associativa, podemos agrupar assim:
(tfrac12 cdot 2) x = 1 cdot x = x
Para calcular o lado direito, usamos a comutatividade da multiplicação e a definição de divisão como multiplicação pelo inverso:
tfrac12 cdot 4 = tfrac42 = 2
Portanto chegamos em x = 2, isolando a incógnita.

Resposta

As propriedades usadas foram:
  1. Propriedade multiplicativa da igualdade (multiplicar ambos os lados por um mesmo número não nulo).
  2. Existência do inverso multiplicativo ( a cdot a^-1 = 1).
  3. Definição de divisão como multiplicação pelo inverso.
  4. Comutatividade da multiplicação.

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