Coloca-se um casal de coelhos num cercado
A cada mês o casal reproduz um novo casal
O novo casal torna-se produtivo no segundo mês de vida gerando um novo casal por mês Calcular o numero de pares de coelhos existentes no final de um ano.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Foi colocado um casal de coelhos num cercado (isto é, começamos com 1 par).
    • A cada mês cada casal produtivo gera um novo casal.
    • Um casal recém-nascido só se torna produtivo no segundo mês de vida (ou seja, precisa de um mês para ficar apto a reproduzir).
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular o número de pares de coelhos existentes no final de um ano (ou seja, ao fim de 12 meses).

Passo 2

Definir uma variável e os valores iniciais (muito importante para poder fazer as contas).
  • Seja a_n o número de pares de coelhos existentes no final do mês n.
  • Começamos com um casal, então no final do primeiro mês há apenas esse par: a_1 = 1.
  • No enunciado está implícito que o casal iniciado precisa de tempo até reproduzir (o enunciado fala que “o novo casal torna-se produtivo no segundo mês de vida”), portanto no final do segundo mês ainda não aparece um novo par — o primeiro par apenas atinge a idade reprodutiva nesse período. Assim tomamos a_2 = 1.
Explicação em palavras: no primeiro mês só existe o casal inicial; durante o segundo mês ainda não houve nascimento novo porque os recém-chegados (ainda só o casal inicial) só ficam aptos a reproduzir depois de completar um mês de vida.

Passo 3

Montar a relação de recorrência (a “receita” que permite calcular mês a mês). Vou ensinar a lógica devagar.
  • Em qualquer mês n (para n\ge 3), todos os pares que já existiam no fim do mês anterior continuam vivos, então contribuem com a_{n-1} pares.
  • Além disso, aparecem novos pares neste mês. Quem gera esses novos pares são os casais que já eram produtivos naquele mês. Um par só fica produtivo depois de um mês de vida, então os casais que já eram produtivos no mês n são exatamente os que existiam no fim do mês n-2. Portanto o número de casais recém-nascidos no mês n é a_{n-2}.
  • Somando os que já existiam com os novos nascimentos temos a recorrência clássica: a_n = a_{n-1} + a_{n-2},\qquad \text{para } n\ge 3.
Breve comentário didático: esta é a definição da sequência de Fibonacci com as condições iniciais que fixamos. A ideia prática é: “os pares deste mês = pares do mês passado + pares que estavam vivos dois meses atrás (porque esses geram os novos)”.

Passo 4

Calcular os termos mês a mês até n=12, aplicando a recorrência e mostrando cada conta.
  • Para n=3: a_3 = a_2 + a_1 = 1 + 1 = 2.Interpretação: no fim do 3.º mês aparece o primeiro casal novo, ficando 2 pares.
  • Para n=4: a_4 = a_3 + a_2 = 2 + 1 = 3.
  • Para n=5: a_5 = a_4 + a_3 = 3 + 2 = 5.
  • Para n=6: a_6 = a_5 + a_4 = 5 + 3 = 8.
  • Para n=7: a_7 = a_6 + a_5 = 8 + 5 = 13.
  • Para n=8: a_8 = a_7 + a_6 = 13 + 8 = 21.
  • Para n=9: a_9 = a_8 + a_7 = 21 + 13 = 34.
  • Para n=10: a_{10} = a_9 + a_8 = 34 + 21 = 55.
  • Para n=11: a_{11} = a_{10} + a_9 = 55 + 34 = 89.
  • Para n=12: a_{12} = a_{11} + a_{10} = 89 + 55 = 144.
Dica prática para prova: se você reconhecer a recorrência a_n=a_{n-1}+a_{n-2} com a_1=a_2=1, já sabe que são os números de Fibonacci e pode memorizar os primeiros termos para avançar rápido.

Passo 5

Interpretação final e incentivo curto.
  • Ao aplicar a regra mês a mês chegamos ao resultado pedido: ao fim de 12 meses há 144 pares de coelhos.
  • Parabéns — esse problema é a origem da sequência de Fibonacci; se decorar a lógica da recorrência e os dois primeiros termos, resolve rápido na prova. Respira fundo, repete a ideia da recorrência e pronto!

Resposta

144

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