provar que para
provar que para
Passo 1
O enunciado nos dá a soma
e pede para provar que, para
,
Informações fornecidas:
- O somatório tem
termos. - O primeiro termo é
. - A diferença entre termos consecutivos é
.
O que se pede: demonstrar a fórmula fechada para.
Passo 2
Escrevemos a soma usando um índice para ficar claro o que somamos. Tome
. Então cada termo é
e
Agora vamos separar a soma em duas somas mais simples, usando a linearidade da soma (isto é, somar parcelas separadamente):
Passo 3
Avaliaremos cada uma das somas separadamente.
- A soma
é simplesmente somada vezes, portanto
- Na outra soma, o fator
é constante em relação a , então pode sair da soma:
Logo
Passo 4
Agora precisamos da soma dos inteiros de
até
. Denote
Uma maneira clássica e rápida de calcular
é emparelhar termos simétricos: escreva a soma na ordem direta e na ordem inversa e some as duas cópias termo a termo:
Somando as duas linhas termo a termo dá
pares, cada par somando
. Assim
Dividindo por
,
Passo 5
Substituindo
em
obtido no Passo 3:
Agora fazemos uma simplificação algébrica para escrever em uma forma mais compacta. Colocando sobre um denominador comum
:
Fatorando
no numerador:
Passo 6
(Dica rápida para a prova: existe outra maneira igualmente útil — emparelhar o primeiro termo com o último, o segundo com o penúltimo etc. Cada par soma
; há
pares se
for par e, se
for ímpar, há
pares iguais mais o termo central que é
; o resultado final é o mesmo e conduz à mesma fórmula acima.)