\mathrm{a}+(\mathrm{a}+\mathrm{r})+(\mathrm{a}+\mathrm{Pr})+\ldots+[\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1) \mathrm{r}]=\mathrm{S}(\mathrm{n})
provar que para n \geq 1, S(n)=n[2 a+(n-1) r] / 2

Passo 1

O enunciado nos dá a soma
S(n)=\mathrm{a}+(\mathrm{a}+\mathrm{r})+(\mathrm{a}+2\mathrm{r})+\ldots+[\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1)\mathrm{r}]
e pede para provar que, para \mathrm{n}\ge 1,
S(n)=\frac{\mathrm{n}\,[2\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1)\mathrm{r}]}{2}.
Informações fornecidas:
  • O somatório tem \mathrm{n} termos.
  • O primeiro termo é \mathrm{a}.
  • A diferença entre termos consecutivos é \mathrm{r}.
    O que se pede: demonstrar a fórmula fechada para S(n).

Passo 2

Escrevemos a soma usando um índice para ficar claro o que somamos. Tome k=0,1,2,\dots,\mathrm{n}-1. Então cada termo é \mathrm{a}+k\mathrm{r} e
S(n)=\sum_{k=0}^{\mathrm{n}-1}(\mathrm{a}+k\mathrm{r}).
Agora vamos separar a soma em duas somas mais simples, usando a linearidade da soma (isto é, somar parcelas separadamente):
S(n)=\sum_{k=0}^{\mathrm{n}-1}\mathrm{a}+\sum_{k=0}^{\mathrm{n}-1}k\mathrm{r}.

Passo 3

Avaliaremos cada uma das somas separadamente.
  1. A soma \sum_{k=0}^{\mathrm{n}-1}\mathrm{a} é simplesmente \mathrm{a} somada \mathrm{n} vezes, portanto
\sum_{k=0}^{\mathrm{n}-1}\mathrm{a}=\mathrm{n}\mathrm{a}.
  1. Na outra soma, o fator \mathrm{r} é constante em relação a k, então pode sair da soma:
\sum_{k=0}^{\mathrm{n}-1}k\mathrm{r}=\mathrm{r}\sum_{k=0}^{\mathrm{n}-1}k.
Logo
S(n)=\mathrm{n}\mathrm{a}+\mathrm{r}\sum_{k=0}^{\mathrm{n}-1}k.

Passo 4

Agora precisamos da soma dos inteiros de 0 até \mathrm{n}-1. Denote
T=\sum_{k=0}^{\mathrm{n}-1}k = 0+1+2+\cdots+(\mathrm{n}-1).
Uma maneira clássica e rápida de calcular T é emparelhar termos simétricos: escreva a soma na ordem direta e na ordem inversa e some as duas cópias termo a termo:
T = 0+1+2+\cdots+(\mathrm{n}-2)+(\mathrm{n}-1),
T = (\mathrm{n}-1)+(\mathrm{n}-2)+\cdots+2+1+0.
Somando as duas linhas termo a termo dá \mathrm{n} pares, cada par somando \mathrm{n}-1. Assim
2T=\mathrm{n}(\mathrm{n}-1).
Dividindo por 2,
T=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)}{2}.

Passo 5

Substituindo T em S(n) obtido no Passo 3:
S(n)=\mathrm{n}\mathrm{a}+\mathrm{r}\cdot\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)}{2}.
Agora fazemos uma simplificação algébrica para escrever em uma forma mais compacta. Colocando sobre um denominador comum 2:
S(n)=\frac{2\mathrm{n}\mathrm{a}+\mathrm{r}\,\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)}{2}.
Fatorando \mathrm{n} no numerador:
S(n)=\frac{\mathrm{n}\bigl(2\mathrm{a}+\mathrm{r}(\mathrm{n}-1)\bigr)}{2}.

Passo 6

(Dica rápida para a prova: existe outra maneira igualmente útil — emparelhar o primeiro termo com o último, o segundo com o penúltimo etc. Cada par soma 2\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1)\mathrm{r}; há \mathrm{n}/2 pares se \mathrm{n} for par e, se \mathrm{n} for ímpar, há (\mathrm{n}-1)/2 pares iguais mais o termo central que é \mathrm{a}+\tfrac{\mathrm{n}-1}{2}\mathrm{r}; o resultado final é o mesmo e conduz à mesma fórmula acima.)

Resposta

S(n)=\frac{\mathrm{n}\bigl(2\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1)\mathrm{r}\bigr)}{2}

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