verifique se 16 divide ( 5^{\wedge} n-4 n-1 ), para n \geq 1

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se verificar se o número 16 divide a expressão \;5^{n}-4n-1\; para todo inteiro n\ge 1.
  • Em outras palavras, precisamos demonstrar que, para todo n\ge 1,
5^{n}-4n-1 \equiv 0 \pmod{16}.
  • Informação útil imediata: podemos testar alguns casos pequenos para ganhar intuição (isto não substitui a prova para todos os n, mas ajuda a ver o padrão).

Passo 2

Testes para ganhar intuição (pegando valores concretos):
  • Para n=1:
5^{1}-4\cdot1-1 = 5-4-1=0,
que é divisível por 16 (pois 0 é múltiplo de qualquer inteiro).
  • Para n=2:
5^{2}-4\cdot2-1 = 25-8-1=16,
que é claramente múltiplo de 16.
  • Para n=3:
5^{3}-4\cdot3-1 = 125-12-1=112=7\cdot16.
Esses exemplos mostram que a afirmação é plausível; agora vamos provar para todo n\ge 1.

Passo 3

Apresentando a ferramenta que vamos usar: o Teorema do Binômio (explicação didática).
  • O Teorema do Binômio diz que, para inteiros n\ge 0 e quaisquer números a,b,
(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{\,n-k}b^{\,k},
onde \displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} é o coeficiente binomial.
  • Aqui cada termo da soma é \binom{n}{k}a^{\,n-k}b^{\,k}. O que importa para nós é a potência de b em cada termo: se b tem um fator que, a partir de certa potência, garante divisibilidade por 16, então todos os termos com k suficientemente grande serão múltiplos de 16.

Passo 4

Aplicando o Teorema do Binômio a 5^{n} escrevendo 5=1+4.
  • Escrevemos
5^{n}=(1+4)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}1^{\,n-k}4^{\,k}.
  • Simplificando 1^{\,n-k}=1, obtemos
5^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}4^{\,k}.
  • Escrevendo explicitamente os primeiros termos da soma:
5^{n}=\binom{n}{0}4^{0}+\binom{n}{1}4^{1}+\sum_{k=2}^{n}\binom{n}{k}4^{\,k}.
  • Note que \binom{n}{0}=1 e \binom{n}{1}=n, portanto
5^{n}=1 + 4n + \sum_{k=2}^{n}\binom{n}{k}4^{\,k}.

Passo 5

Analisando os termos restantes para ver a divisibilidade por 16.
  • Para todo k\ge 2 tem-se 4^{k}=4^{2}\cdot4^{k-2}=16\cdot4^{k-2}. Logo cada termo \binom{n}{k}4^{k} com k\ge 2 é múltiplo de 16, pois é igual a 16\cdot\big(\binom{n}{k}4^{k-2}\big).
  • Assim a soma \displaystyle \sum_{k=2}^{n}\binom{n}{k}4^{k} é múltiplo de 16 (soma de múltiplos de 16 é múltiplo de 16).
  • Portanto da expressão do Passo 4 temos
5^{n}=1+4n + 16\cdot M
para algum inteiro M (dependente de n).

Passo 6

Concluindo a divisibilidade pedida.
  • Subtraindo 4n+1 dos dois lados:
5^{n}-4n-1 = 16\cdot M,
o que mostra que 5^{n}-4n-1 é múltiplo de 16.
  • Isso vale para todo inteiro n\ge 1, porque a dedução usando o binômio não fez hipótese especial além de n inteiro não negativo (e nos interessam n\ge 1).

Resposta

Sim. Para todo n\ge 1 tem-se 16 divide 5^{n}-4n-1.

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