verifique se 16 divide (
), para
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede-se verificar se o número
divide a expressão para todo inteiro . - Em outras palavras, precisamos demonstrar que, para todo
,
- Informação útil imediata: podemos testar alguns casos pequenos para ganhar intuição (isto não substitui a prova para todos os
, mas ajuda a ver o padrão).
Passo 2
Testes para ganhar intuição (pegando valores concretos):
- Para
:
que é divisível por
(pois
é múltiplo de qualquer inteiro).
- Para
:
que é claramente múltiplo de
.
- Para
:
Esses exemplos mostram que a afirmação é plausível; agora vamos provar para todo
.
Passo 3
Apresentando a ferramenta que vamos usar: o Teorema do Binômio (explicação didática).
- O Teorema do Binômio diz que, para inteiros
e quaisquer números ,
onde
é o coeficiente binomial.
- Aqui cada termo da soma é
. O que importa para nós é a potência de em cada termo: se tem um fator que, a partir de certa potência, garante divisibilidade por , então todos os termos com suficientemente grande serão múltiplos de .
Passo 4
Aplicando o Teorema do Binômio a
escrevendo
.
- Escrevemos
- Simplificando
, obtemos
- Escrevendo explicitamente os primeiros termos da soma:
- Note que
e , portanto
Passo 5
Analisando os termos restantes para ver a divisibilidade por
.
- Para todo
tem-se . Logo cada termo com é múltiplo de , pois é igual a . - Assim a soma
é múltiplo de (soma de múltiplos de é múltiplo de ). - Portanto da expressão do Passo 4 temos
para algum inteiro
(dependente de
).
Passo 6
Concluindo a divisibilidade pedida.
- Subtraindo
dos dois lados:
o que mostra que
é múltiplo de
.
- Isso vale para todo inteiro
, porque a dedução usando o binômio não fez hipótese especial além de inteiro não negativo (e nos interessam ).
Resposta
Sim. Para todo
tem-se
divide
.