Colocam-se aleatoriamente b bolas em b urnas. Calcular a probabilidade de que exatamente uma urna seja deixada desocupada.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem b bolas e b urnas, e queremos colocar essas bolas nas urnas de forma aleatória. A pergunta é: qual é a probabilidade de que exatamente uma urna fique vazia? Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e combinatória, ou seja, contar de quantas maneiras isso pode acontecer e dividir pelo total de possibilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o número total de maneiras de distribuir as b bolas nas b urnas. Como cada bola pode ir para qualquer urna, o total de possibilidades é b elevado à potência b, ou seja:
Total de possibilidades = b^b

Passo 3

Agora, queremos saber de quantas dessas maneiras exatamente uma urna fica vazia. Para isso, vamos seguir dois passos:
  1. Escolher qual urna ficará vazia.
  2. Distribuir as b bolas nas urnas restantes de forma que nenhuma delas fique vazia.

Passo 4

Primeiro, vamos escolher qual urna ficará vazia. Como temos b urnas, há exatamente b maneiras de escolher qual urna será a vazia.
Maneiras de escolher a urna vazia = b

Passo 5

Agora, precisamos distribuir as b bolas nas b-1 urnas restantes, garantindo que nenhuma delas fique vazia. Isso é um problema clássico de distribuição de bolas distintas em urnas distintas com restrição de pelo menos uma bola por urna.
A fórmula para isso é dada por:
(b-1)! cdot S(b, b-1)
onde S(b, b-1) é o número de partições de b elementos em b-1 subconjuntos (neste caso, urnas).
Sabemos que:
S(b, b-1) = binomb2
Isso porque, para cada partição com b-1 subconjuntos, exatamente duas bolas estarão na mesma urna.

Passo 6

Substituindo S(b, b-1) na fórmula, temos:
Maneiras de distribuir as bolas = (b-1)! cdot binomb2
E multiplicando pelo número de maneiras de escolher a urna vazia:
Maneiras totais favoráveis = b cdot (b-1)! cdot binomb2 á

Passo 7

Simplificando essa expressão, temos:
b cdot (b-1)! cdot b(b-1)2 = b^2 (b-1) cdot (b-1)!2
= b! cdot b2 cdot b^b
= b!2 cdot b^b-1

Resposta

A probabilidade de que exatamente uma urna fique vazia é:
P = b!2 cdot b^b-1

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