Colocam-se aleatoriamente
bolas em
urnas. Calcular a probabilidade de que exatamente uma urna seja deixada desocupada.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem
bolas e
urnas, e queremos colocar essas bolas nas urnas de forma aleatória. A pergunta é: qual é a probabilidade de que exatamente uma urna fique vazia? Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e combinatória, ou seja, contar de quantas maneiras isso pode acontecer e dividir pelo total de possibilidades.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o número total de maneiras de distribuir as
bolas nas
urnas. Como cada bola pode ir para qualquer urna, o total de possibilidades é
elevado à potência
, ou seja:
Passo 3
Agora, queremos saber de quantas dessas maneiras exatamente uma urna fica vazia. Para isso, vamos seguir dois passos:
- Escolher qual urna ficará vazia.
- Distribuir as
bolas nas urnas restantes de forma que nenhuma delas fique vazia.
Passo 4
Primeiro, vamos escolher qual urna ficará vazia. Como temos
urnas, há exatamente
maneiras de escolher qual urna será a vazia.
Passo 5
Agora, precisamos distribuir as
bolas nas
urnas restantes, garantindo que nenhuma delas fique vazia. Isso é um problema clássico de distribuição de bolas distintas em urnas distintas com restrição de pelo menos uma bola por urna.
A fórmula para isso é dada por:
onde
é o número de partições de
elementos em
subconjuntos (neste caso, urnas).
Sabemos que:
Isso porque, para cada partição com
subconjuntos, exatamente duas bolas estarão na mesma urna.
Passo 6
Substituindo
na fórmula, temos:
E multiplicando pelo número de maneiras de escolher a urna vazia:
Passo 7
Simplificando essa expressão, temos:
Resposta
A probabilidade de que exatamente uma urna fique vazia é: