Use a função geradora de momentos para obter a esperança e a variância de
, no seguinte caso:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória
que segue a distribuição de Poisson com parâmetro
. Isso significa que
conta o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, onde esses eventos ocorrem com uma taxa média
. Nosso objetivo aqui é encontrar a esperança (ou valor esperado) e a variância de
usando a função geradora de momentos (FGM). Para isso, vamos lembrar como a FGM funciona e como ela pode ser utilizada para encontrar essas medidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a função geradora de momentos. A FGM de uma variável aleatória
é definida como:
Ou seja, é a expectativa da exponencial de
. Ela é uma ferramenta poderosa porque, derivando a FGM, podemos encontrar momentos como a esperança e a variância.
Passo 3
Vamos encontrar a FGM da distribuição de Poisson. Sabemos que para
, a função de massa de probabilidade é:
Então, a FGM é:
Passo 4
Vamos simplificar essa soma. Observe que
. Então:
Essa soma é a expansão em série de Taylor de
, então:
Passo 5
Agora que temos a FGM, podemos encontrar a esperança
derivando a FGM em
:
Primeiro, vamos derivar
:
Agora, avaliando em
:
Passo 6
Para encontrar a variância
, usamos a fórmula:
Primeiro, precisamos achar
. Para isso, derivamos a FGM duas vezes:
Avaliando em
:
Agora, calculamos a variância:
Resposta
A esperança de
é
e a variância de
é
.