Use a função geradora de momentos para obter a esperança e a variância de X, no seguinte caso:
X sim Poisson(lambda)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória X que segue a distribuição de Poisson com parâmetro lambda. Isso significa que X conta o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, onde esses eventos ocorrem com uma taxa média lambda. Nosso objetivo aqui é encontrar a esperança (ou valor esperado) e a variância de X usando a função geradora de momentos (FGM). Para isso, vamos lembrar como a FGM funciona e como ela pode ser utilizada para encontrar essas medidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função geradora de momentos. A FGM de uma variável aleatória X é definida como:
MX(t) = E[e^tX]
Ou seja, é a expectativa da exponencial de tX. Ela é uma ferramenta poderosa porque, derivando a FGM, podemos encontrar momentos como a esperança e a variância.

Passo 3

Vamos encontrar a FGM da distribuição de Poisson. Sabemos que para X sim Poisson(lambda), a função de massa de probabilidade é:
P(X = k) = lambda^k e^-lambdak! para k = 0, 1, 2, dots
Então, a FGM é:
MX(t) = E[e^tX] = sumk=0^infty e^tk cdot lambda^k e^-lambdak!

Passo 4

Vamos simplificar essa soma. Observe que e^tk = (e^t)^k. Então:
MX(t) = e^-lambda sumk=0^infty (lambda e^t)^kk!
Essa soma é a expansão em série de Taylor de e^lambda e^t, então:
MX(t) = e^-lambda cdot e^lambda e^t = e^lambda (e^t - 1)

Passo 5

Agora que temos a FGM, podemos encontrar a esperança E[X] derivando a FGM em t = 0:
E[X] = MX'(0)
Primeiro, vamos derivar MX(t):
MX'(t) = e^lambda (e^t - 1) cdot lambda e^t
Agora, avaliando em t = 0:
E[X] = MX'(0) = e^lambda (1 - 1) cdot lambda e^0 = 1 cdot lambda cdot 1 = lambda

Passo 6

Para encontrar a variância Var(X), usamos a fórmula:
Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2
Primeiro, precisamos achar E[X^2]. Para isso, derivamos a FGM duas vezes:
MX''(t) = ddt ( e^lambda (e^t - 1) cdot lambda e^t ) = e^lambda (e^t - 1) cdot lambda e^t cdot lambda e^t + e^lambda (e^t - 1) cdot lambda e^t = e^lambda (e^t - 1) cdot lambda e^t (lambda e^t + 1)
Avaliando em t = 0:
E[X^2] = MX''(0) = e^0 cdot lambda cdot 1 cdot (lambda cdot 1 + 1) = lambda (lambda + 1)
Agora, calculamos a variância:
Var(X) = lambda (lambda + 1) - lambda^2 = lambda

Resposta

A esperança de X é E[X] = lambda e a variância de X é Var(X) = lambda.

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