Colocar os limites de integração na integral dupla
onde a região de integração
está delimitada pelas desigualdades:
Passo 1
O enunciado pede que coloquemos os limites de integração da integral dupla
onde a região
é dada pelas desigualdades:
Lista das informações relevantes dadas:
- Temos a desigualdade
(a região está acima da reta ). - Temos a desigualdade
(a região está à direita da reta vertical ). - Temos a desigualdade
(a região está abaixo da reta horizontal ).
O objetivo é escrever limites de integração corretos para a integral dupla sobre. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Vamos visualizar a região
usando as desigualdades (um desenho mental ajuda muito). As três curvas importantes são:
- A reta
é uma bissetriz (diagonal) que passa por . - A reta
é uma vertical à esquerda passando por para todo . - A reta
é uma horizontal passando por para todo .
A região
é o conjunto de pontos que ficam:
- acima (ou sobre) da reta
, - à direita (ou sobre) da reta
, - abaixo (ou sobre) da reta
.
Visualmente,
é um triângulo com vértices em
,
e
. Vou agora transformar essa descrição geométrica em limites de integração.
Passo 3
Primeiro determine a projeção de
no eixo
(ou seja, quais valores de
ocorrem dentro de
).
Para que exista algum
satisfazendo simultaneamente
e
, devemos ter
porque se
não existe
tal que
e
. Também temos a condição dada
. Juntando:
Portanto a projeção em
é o intervalo
.
Passo 4
Agora, para integrar na ordem
(ou seja, primeiro integrar em
mantendo
fixo), precisamos dos limites de
em função de
.
Para um
fixo com
:
- a desigualdade inferior é
então o limite inferior de é ; - a desigualdade superior é
então o limite superior de é .
Logo a integral com ordem
fica
Passo 5
Agora faremos a ordem inversa
(primeiro integrar em
mantendo
fixo). Primeiro descobrimos para quais
existem pontos na região
.
Pela descrição,
precisa satisfazer
e também deve existir
com
e
(porque
é equivalente a
). Isso implica que o menor
possível ocorre quando
e então
. Assim
Passo 6
Para um
fixo com
, quais são os valores possíveis de
?
- Temos
(limite inferior para ). - Temos
(porque equivale a ) — esse é o limite superior para .
Portanto, para cada
em
temos
Assim a integral na ordem
é
Passo 7
Para ter certeza de que os limites estão corretos, fazemos um rápido teste com
. A área de
calculada por cada ordem deve coincidir.
Usando
:
Usando
:
As duas ordens deram a mesma área
, o que confirma que os limites estão consistentes.
Passo 8
Resumo prático e dica para prova:
- Se o enunciado der uma condição do tipo
e uma linha horizontal , frequentemente é mais direto integrar em primeiro (porque a desigualdade fornece naturalmente o limite inferior em como ). - Se pedirem a ordem oposta, basta projetar a região no eixo
para achar o intervalo de , e escrever o intervalo de como entre as curvas verticais/linha dada e .