Colocar os limites de integração na integral dupla
\iint_{K} f(x, y) d A,
onde a região de integração K está delimitada pelas desigualdades:
y \geq x, x \geq-1, y \leq 1

Passo 1

O enunciado pede que coloquemos os limites de integração da integral dupla
\iint_{K} f(x,y)\,dA,
onde a região K é dada pelas desigualdades:
y \geq x,\qquad x \geq -1,\qquad y \leq 1.
Lista das informações relevantes dadas:
  • Temos a desigualdade \;y\ge x\; (a região está acima da reta y=x).
  • Temos a desigualdade \;x\ge -1\; (a região está à direita da reta vertical x=-1).
  • Temos a desigualdade \;y\le 1\; (a região está abaixo da reta horizontal y=1).
    O objetivo é escrever limites de integração corretos para a integral dupla sobre K. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Vamos visualizar a região K usando as desigualdades (um desenho mental ajuda muito). As três curvas importantes são:
y=x,\qquad x=-1,\qquad y=1.
  • A reta y=x é uma bissetriz (diagonal) que passa por (-1,-1),(0,0),(1,1).
  • A reta x=-1 é uma vertical à esquerda passando por (-1,y) para todo y.
  • A reta y=1 é uma horizontal passando por (x,1) para todo x.
A região K é o conjunto de pontos que ficam:
  • acima (ou sobre) da reta y=x,
  • à direita (ou sobre) da reta x=-1,
  • abaixo (ou sobre) da reta y=1.
Visualmente, K é um triângulo com vértices em (-1,-1), (-1,1) e (1,1). Vou agora transformar essa descrição geométrica em limites de integração.

Passo 3

Primeiro determine a projeção de K no eixo x (ou seja, quais valores de x ocorrem dentro de K).
Para que exista algum y satisfazendo simultaneamente \;y\ge x\; e \;y\le 1\;, devemos ter
x \le 1,
porque se x>1 não existe y tal que y\ge x e y\le 1. Também temos a condição dada x\ge -1. Juntando:
-1 \le x \le 1.
Portanto a projeção em x é o intervalo [-1,1].

Passo 4

Agora, para integrar na ordem dydx (ou seja, primeiro integrar em y mantendo x fixo), precisamos dos limites de y em função de x.
Para um x fixo com -1\le x\le 1:
  • a desigualdade inferior é \;y\ge x\; então o limite inferior de y é \;y=x\;;
  • a desigualdade superior é \;y\le 1\; então o limite superior de y é \;y=1\;.
Logo a integral com ordem dydx fica
\int_{x=-1}^{1}\left(\int_{y=x}^{1} f(x,y)\,dy\right)dx.

Passo 5

Agora faremos a ordem inversa dxdy (primeiro integrar em x mantendo y fixo). Primeiro descobrimos para quais y existem pontos na região K.
Pela descrição, y precisa satisfazer \;y\le 1\; e também deve existir x com x\ge -1 e x\le y (porque y\ge x é equivalente a x\le y). Isso implica que o menor y possível ocorre quando x=-1 e então y\ge -1. Assim
-1 \le y \le 1.

Passo 6

Para um y fixo com -1\le y\le 1, quais são os valores possíveis de x?
  • Temos x\ge -1 (limite inferior para x).
  • Temos x\le y (porque y\ge x equivale a x\le y) — esse é o limite superior para x.
Portanto, para cada y em [-1,1] temos
-1 \le x \le y.
Assim a integral na ordem dxdy é
\int_{y=-1}^{1}\left(\int_{x=-1}^{y} f(x,y)\,dx\right)dy.

Passo 7

Para ter certeza de que os limites estão corretos, fazemos um rápido teste com f(x,y)=1. A área de K calculada por cada ordem deve coincidir.
Usando dydx:
\int_{x=-1}^{1}\left(\int_{y=x}^{1} 1\,dy\right)dx = \int_{-1}^{1} (1-x)\,dx = \left[x-\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{1} = \Big(1-\tfrac{1}{2}\Big)-\Big(-1-\tfrac{1}{2}\Big) = \tfrac{1}{2}-\big(-\tfrac{3}{2}\big)=2.
Usando dxdy:
\int_{y=-1}^{1}\left(\int_{x=-1}^{y} 1\,dx\right)dy = \int_{-1}^{1} (y+1)\,dy = \left[\tfrac{y^{2}}{2}+y\right]_{-1}^{1} = \Big(\tfrac{1}{2}+1\Big)-\Big(\tfrac{1}{2}-1\Big) = \tfrac{3}{2}-\big(-\tfrac{1}{2}\big)=2.
As duas ordens deram a mesma área 2, o que confirma que os limites estão consistentes.

Passo 8

Resumo prático e dica para prova:
  • Se o enunciado der uma condição do tipo y\ge x e uma linha horizontal y\le c, frequentemente é mais direto integrar em y primeiro (porque a desigualdade y\ge x fornece naturalmente o limite inferior em y como y=x).
  • Se pedirem a ordem oposta, basta projetar a região no eixo y para achar o intervalo de y, e escrever o intervalo de x como entre as curvas verticais/linha dada e x\le y.

Resposta

\int_{x=-1}^{1}\left(\int_{y=x}^{1} f(x,y)\,dy\right)dx
\int_{y=-1}^{1}\left(\int_{x=-1}^{y} f(x,y)\,dx\right)dy

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