Colocar os limites de integração na integral dupla
\iint_{K} f(x, y) d A,
onde a região de integração K está delimitada pelas desigualdades:
x^{2}+y^{2} \leq x

Passo 1

O que o enunciado pede: colocar limites de integração para a integral dupla
\iint_{K} f(x,y)\,dA,
onde a região K é dada pela desigualdade
x^{2}+y^{2}\le x.
Informações dadas e objetivo claro:
  1. A desigualdade que define K é \;x^{2}+y^{2}\le x\;.
  2. Precisamos transformar essa descrição em limites explícitos de integração — ao menos em uma forma cartesianas e/ou em coordenadas polares — para poder escrever a integral dupla com ordem de integração explícita.

Passo 2

Entender a forma geométrica da região K — completar o quadrado no lado em x:
Começo pela desigualdade dada:
x^{2}+y^{2}\le x.
Subtraio x dos dois lados para agrupar termos em x:
x^{2}-x+y^{2}\le 0.
Agora completo o quadrado em x. Para completar o quadrado em x^{2}-x eu pego metade do coeficiente de x (que é -1), ou seja -\tfrac{1}{2}, e somo/subtraio seu quadrado \tfrac{1}{4}:
x^{2}-x = \left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2} - \tfrac{1}{4}.
Substituindo na desigualdade:
\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2} - \tfrac{1}{4} + y^{2} \le 0.
Isolando o termo da soma de quadrados:
\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2} + y^{2} \le \tfrac{1}{4}.
Interpretação: isto é a inequação de um disco (círculo preenchido) centrado em \left(\tfrac{1}{2},0\right) com raio \tfrac{1}{2}. Portanto K é esse disco que vai de x=0 até x=1 e de y=-\tfrac{1}{2} até y=\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Limites em coordenadas cartesianas com integração na ordem dy\,dx.
A partir de \left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2}+y^{2}\le \tfrac{1}{4} isolamos y^{2}:
y^{2} \le \tfrac{1}{4} - \left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2}.
Podemos reescrever a expressão do lado direito de forma mais simples:
\tfrac{1}{4} - \left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2} = x - x^{2}.
Logo a desigualdade original também pode ser escrita como
y^{2} \le x - x^{2}.
Para que o lado direito seja não negativo (pois y^{2}\ge 0), precisamos de x-x^{2}\ge 0. Isso ocorre quando 0\le x\le 1. Para cada x nessa faixa, y varia entre as raízes:
-\sqrt{x-x^{2}} \le y \le \sqrt{x-x^{2}}.
Portanto uma maneira natural de escrever a integral é:
\iint_{K} f(x,y)\,dA = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=-\sqrt{x-x^{2}}}^{\sqrt{x-x^{2}}} f(x,y)\,dy\right) dx.
Explicação simples do porquê: escolhemos x primeiro entre 0 e 1; para cada x a fatia vertical do disco tem y limitado pelas curvas y=\pm\sqrt{x-x^{2}}.

Passo 4

Limites em coordenadas cartesianas na ordem dx\,dy (opção alternativa).
Se preferirmos integrar primeiro em x, isolamos x a partir da forma centrada do círculo:
\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2} \le \tfrac{1}{4}-y^{2}.
Tomando raízes (lembrando que \tfrac{1}{4}-y^{2}\ge 0 implica |y|\le\tfrac{1}{2}), obtemos
-\sqrt{\tfrac{1}{4}-y^{2}} \le x-\tfrac{1}{2} \le \sqrt{\tfrac{1}{4}-y^{2}}.
Somando \tfrac{1}{2} em tudo:
\tfrac{1}{2}-\sqrt{\tfrac{1}{4}-y^{2}} \le x \le \tfrac{1}{2}+\sqrt{\tfrac{1}{4}-y^{2}}.
Com y variando em -\tfrac{1}{2}\le y\le \tfrac{1}{2}. Assim a integral fica:
\iint_{K} f(x,y)\,dA = \int_{y=-\tfrac{1}{2}}^{\tfrac{1}{2}}\left(\int_{x=\tfrac{1}{2}-\sqrt{\tfrac{1}{4}-y^{2}}}^{\tfrac{1}{2}+\sqrt{\tfrac{1}{4}-y^{2}}} f(x,y)\,dx\right) dy.
Isto é útil se a função f for mais simples ao integrar em x primeiro.

Passo 5

Passagem para coordenadas polares (muito prática aqui) — explicar conversão e jacobiano.
Lembrando as relações de conversão:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
e o elemento de área transforma como
dA = r\,dr\,d\theta.
Agora transformo a desigualdade x^{2}+y^{2}\le x para polares. Como x^{2}+y^{2}=r^{2} e x=r\cos\theta, substituo:
r^{2} \le r\cos\theta.
Como r\ge 0, posso dividir por r (caso r=0 é um único ponto incluído), obtendo
r \le \cos\theta.
Mas atenção importante: a desigualdade só faz sentido com \cos\theta \ge 0, porque r\ge 0. Portanto precisamos de \cos\theta\ge 0, o que ocorre quando
-\tfrac{\pi}{2} \le \theta \le \tfrac{\pi}{2}.
Para cada \theta nesse intervalo, r varia de 0 até \cos\theta. Assim, a escrita em coordenadas polares é especialmente simples:
\iint_{K} f(x,y)\,dA = \int_{\theta=-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\left(\int_{r=0}^{\cos\theta} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\, r\,dr\right) d\theta.
Motivo prático: o disco deslocado vira um limite radial simples r\le \cos\theta porque a fronteira do disco passa pela origem em ângulos \pm\tfrac{\pi}{2} e é descrita por r=\cos\theta.

Passo 6

Resumo e dica prática para a prova:
  • Se pedirem apenas “colocar os limites”, cite pelo menos uma forma bem clara (cartesiana ou polar).
  • Se a função f envolve x^{2}+y^{2} ou razões que simplificam em polares, use a forma polar — é a mais limpa aqui.
  • Se quiser ficar estritamente em coordenadas x,y sem mudar variável, use os limites com x\in[0,1] e y\in[-\sqrt{x-x^{2}},\sqrt{x-x^{2}}].

Resposta

\iint_{K} f(x,y)\,dA = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=-\sqrt{x-x^{2}}}^{\sqrt{x-x^{2}}} f(x,y)\,dy\right) dx.
\iint_{K} f(x,y)\,dA = \int_{y=-\tfrac{1}{2}}^{\tfrac{1}{2}}\left(\int_{x=\tfrac{1}{2}-\sqrt{\tfrac{1}{4}-y^{2}}}^{\tfrac{1}{2}+\sqrt{\tfrac{1}{4}-y^{2}}} f(x,y)\,dx\right) dy.
\iint_{K} f(x,y)\,dA = \int_{\theta=-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\left(\int_{r=0}^{\cos\theta} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\, r\,dr\right) d\theta.

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