Colocar os limites de integração na integral dupla
\iint_{K} f(x, y) d A,
onde a região de integração K está delimitada pelas desigualdades: x^{2}+y^{2} \leq x
Passo 1
O que o enunciado pede: colocar limites de integração para a integral dupla
\iint_{K} f(x,y)\,dA,
onde a região K é dada pela desigualdade
x^{2}+y^{2}\le x.
Informações dadas e objetivo claro:
A desigualdade que define K é \;x^{2}+y^{2}\le x\;.
Precisamos transformar essa descrição em limites explícitos de integração — ao menos em uma forma cartesianas e/ou em coordenadas polares — para poder escrever a integral dupla com ordem de integração explícita.
Passo 2
Entender a forma geométrica da região K — completar o quadrado no lado em x:
Começo pela desigualdade dada:
x^{2}+y^{2}\le x.
Subtraio x dos dois lados para agrupar termos em x:
x^{2}-x+y^{2}\le 0.
Agora completo o quadrado em x. Para completar o quadrado em x^{2}-x eu pego metade do coeficiente de x (que é -1), ou seja -\tfrac{1}{2}, e somo/subtraio seu quadrado \tfrac{1}{4}:
Interpretação: isto é a inequação de um disco (círculo preenchido) centrado em \left(\tfrac{1}{2},0\right) com raio \tfrac{1}{2}. Portanto K é esse disco que vai de x=0 até x=1 e de y=-\tfrac{1}{2} até y=\tfrac{1}{2}.
Passo 3
Limites em coordenadas cartesianas com integração na ordem dy\,dx.
A partir de \left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2}+y^{2}\le \tfrac{1}{4} isolamos y^{2}:
Podemos reescrever a expressão do lado direito de forma mais simples:
\tfrac{1}{4} - \left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2} = x - x^{2}.
Logo a desigualdade original também pode ser escrita como
y^{2} \le x - x^{2}.
Para que o lado direito seja não negativo (pois y^{2}\ge 0), precisamos de x-x^{2}\ge 0. Isso ocorre quando 0\le x\le 1. Para cada x nessa faixa, y varia entre as raízes:
-\sqrt{x-x^{2}} \le y \le \sqrt{x-x^{2}}.
Portanto uma maneira natural de escrever a integral é:
Explicação simples do porquê: escolhemos x primeiro entre 0 e 1; para cada x a fatia vertical do disco tem y limitado pelas curvas y=\pm\sqrt{x-x^{2}}.
Passo 4
Limites em coordenadas cartesianas na ordem dx\,dy (opção alternativa).
Se preferirmos integrar primeiro em x, isolamos x a partir da forma centrada do círculo:
Motivo prático: o disco deslocado vira um limite radial simples r\le \cos\theta porque a fronteira do disco passa pela origem em ângulos \pm\tfrac{\pi}{2} e é descrita por r=\cos\theta.
Passo 6
Resumo e dica prática para a prova:
Se pedirem apenas “colocar os limites”, cite pelo menos uma forma bem clara (cartesiana ou polar).
Se a função f envolve x^{2}+y^{2} ou razões que simplificam em polares, use a forma polar — é a mais limpa aqui.
Se quiser ficar estritamente em coordenadas x,y sem mudar variável, use os limites com x\in[0,1] e y\in[-\sqrt{x-x^{2}},\sqrt{x-x^{2}}].