Colocar os limites de integração na integral dupla
\iint_{K} f(x, y) d A,
onde a região de integração K está delimitada pelas desigualdades:
y \leq x \leq y+2 a, 0 \leq y \leq a

Passo 1

O que o enunciado pede: colocar os limites de integração da integral dupla
\iint_{K} f(x,y)\,dA,
onde a região K é dada pelas desigualdades
y \leq x \leq y+2a,\qquad 0 \leq y \leq a.
Informações fornecidas que são relevantes e que eu vou usar: as duas desigualdades acima definem K de forma explícita — a segunda já dá o intervalo de y e a primeira liga x a y. O objetivo é escrever a integral iterada com limites explícitos (em pelo menos uma ordem; eu também vou mostrar a ordem invertida, que é muito útil na prova).

Passo 2

Entendendo geometricamente a região K (passo didático): a desigualdade y \leq x \leq y+2a significa que, para cada y, o valor de x varia entre a reta x=y (linha de inclinação 1, passando pela origem) e a reta x=y+2a (mesma inclinação, deslocada para a direita por 2a). A outra condição 0\le y\le a diz que só consideramos y entre 0 e a. Então K é uma faixa inclinada no plano, limitada verticalmente entre y=0 e y=a, e lateralmente entre as duas retas paralelas x=y e x=y+2a.
Dica prática para provar: se você desenhar (mesmo um rascunho) as retas x=y e x=y+2a e as horizontais y=0 e y=a, verá um paralelogramo (ou uma faixa retangular inclinada) cuja projeção no eixo y é [0,a] e cuja projeção no eixo x é de x_{\min}=0 até x_{\max}=3a (vou justificar esses extremos no próximo passo).

Passo 3

Montando a integral na ordem dx\,dy (essa ordem é imediata a partir do enunciado): a condição 0\le y\le a já dá os limites externos, e y\le x\le y+2a dá os limites internos em x. Portanto a integral iterada fica diretamente
\int_{y=0}^{a}\left(\int_{x=y}^{y+2a} f(x,y)\,dx\right)dy.
Explicação didática curta: quando o enunciado dá 0\le y\le a e, para cada y, um intervalo em x dependente de y, isso é exatamente a forma padrão de uma integral iterada \int_{y=\text{menor}}^{\text{maior}}\int_{x=\text{esq}(y)}^{\text{dir}(y)}.

Passo 4

Quero também ensinar como trocar a ordem de integração (muito útil na prova): para integrar primeiro em y e depois em x (isto é, como \int\!\!\int f(x,y)\,dy\,dx), preciso descrever para cada x o intervalo de y que faz parte de K, e o intervalo total de x.
  1. Determinar o intervalo total de x: a menor abscissa ocorre quando y=0 e x=y, ou seja x_{\min}=0. A maior abscissa ocorre quando y=a e x=y+2a, ou seja x_{\max}=a+2a=3a. Logo 0\le x\le 3a.
  2. Para um x fixo, resolver as desigualdades em y: a condição y\le x\le y+2a é equivalente a
y \le x\quad\text{e}\quad x\le y+2a.
A segunda inequação é y \ge x-2a. Assim, para um dado x,
x-2a \le y \le x.
Mas devemos também respeitar 0\le y\le a. Portanto os limites reais para y são
\max(0,\,x-2a)\le y \le \min(a,\,x).
Perceba que esses \max e \min podem mudar conforme x, então normalmente temos que dividir o intervalo de x em partes onde as expressões não trocam de papel.

Passo 5

Fazer a divisão prática em intervalos de x (explicando por que dividir): as transições ocorrem quando x-2a=0 (isto é, x=2a) e quando x=a (onde x deixa de ser menor que a). Assim separamos três blocos:
  • Para 0\le x\le a: temos x-2a\le 0 e x\le a, logo \max(0,x-2a)=0 e \min(a,x)=x. Então y varia de 0 até x.
  • Para a\le x\le 2a: temos x-2a\le 0 e x\ge a, logo \max(0,x-2a)=0 e \min(a,x)=a. Então y varia de 0 até a.
  • Para 2a\le x\le 3a: temos x-2a\ge 0 e x\ge a, logo \max(0,x-2a)=x-2a e \min(a,x)=a. Então y varia de x-2a até a.
Cada um desses trechos é fácil de memorizar se você visualizar a faixa inclinada: no começo (pequenos x) a faixa sobe até a reta x=y; no meio (valores intermediários de x) a faixa abrange toda a altura 0 a a; no final (grandes x) a faixa começa a “cortar” por baixo e o limite inferior sobe até x-2a.

Passo 6

Escrevendo a integral na ordem dy\,dx usando a divisão encontrada: a integral \iint_{K} f(x,y)\,dA pode ser escrita como soma de três integrais iterados em y primeiro:
\int_{x=0}^{a}\left(\int_{y=0}^{x} f(x,y)\,dy\right)dx +\int_{x=a}^{2a}\left(\int_{y=0}^{a} f(x,y)\,dy\right)dx +\int_{x=2a}^{3a}\left(\int_{y=x-2a}^{a} f(x,y)\,dy\right)dx.
Isso é exatamente a mesma região K, apenas com a ordem de integração invertida. Em prova, se pedirem explicitamente a troca de ordem, mostre a justificativa geométrica (projeções e os pontos de quebra x=a e x=2a) como eu fiz.

Resposta

\iint_{K} f(x,y)\,dA = \int_{y=0}^{a}\left(\int_{x=y}^{y+2a} f(x,y)\,dx\right)dy
\iint_{K} f(x,y)\,dA = \int_{x=0}^{a}\left(\int_{y=0}^{x} f(x,y)\,dy\right)dx +\int_{x=a}^{2a}\left(\int_{y=0}^{a} f(x,y)\,dy\right)dx +\int_{x=2a}^{3a}\left(\int_{y=x-2a}^{a} f(x,y)\,dy\right)dx

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