Colocar os limites de integração na integral dupla
onde a região de integração
está delimitada pelas desigualdades:
Passo 1
O que o enunciado pede: colocar os limites de integração da integral dupla
onde a região
é dada pelas desigualdades
Informações fornecidas que são relevantes e que eu vou usar: as duas desigualdades acima definem
de forma explícita — a segunda já dá o intervalo de
e a primeira liga
a
. O objetivo é escrever a integral iterada com limites explícitos (em pelo menos uma ordem; eu também vou mostrar a ordem invertida, que é muito útil na prova).
Passo 2
Entendendo geometricamente a região
(passo didático): a desigualdade
significa que, para cada
, o valor de
varia entre a reta
(linha de inclinação
, passando pela origem) e a reta
(mesma inclinação, deslocada para a direita por
). A outra condição
diz que só consideramos
entre
e
. Então
é uma faixa inclinada no plano, limitada verticalmente entre
e
, e lateralmente entre as duas retas paralelas
e
.
Dica prática para provar: se você desenhar (mesmo um rascunho) as retas
e
e as horizontais
e
, verá um paralelogramo (ou uma faixa retangular inclinada) cuja projeção no eixo
é
e cuja projeção no eixo
é de
até
(vou justificar esses extremos no próximo passo).
Passo 3
Montando a integral na ordem
(essa ordem é imediata a partir do enunciado): a condição
já dá os limites externos, e
dá os limites internos em
. Portanto a integral iterada fica diretamente
Explicação didática curta: quando o enunciado dá
e, para cada
, um intervalo em
dependente de
, isso é exatamente a forma padrão de uma integral iterada
.
Passo 4
Quero também ensinar como trocar a ordem de integração (muito útil na prova): para integrar primeiro em
e depois em
(isto é, como
), preciso descrever para cada
o intervalo de
que faz parte de
, e o intervalo total de
.
-
Determinar o intervalo total de
: a menor abscissa ocorre quando e , ou seja . A maior abscissa ocorre quando e , ou seja . Logo . -
Para um
fixo, resolver as desigualdades em : a condição é equivalente a
A segunda inequação é
. Assim, para um dado
,
Mas devemos também respeitar
. Portanto os limites reais para
são
Perceba que esses
e
podem mudar conforme
, então normalmente temos que dividir o intervalo de
em partes onde as expressões não trocam de papel.
Passo 5
Fazer a divisão prática em intervalos de
(explicando por que dividir): as transições ocorrem quando
(isto é,
) e quando
(onde
deixa de ser menor que
). Assim separamos três blocos:
-
Para
: temos e , logo e . Então varia de até . -
Para
: temos e , logo e . Então varia de até . -
Para
: temos e , logo e . Então varia de até .
Cada um desses trechos é fácil de memorizar se você visualizar a faixa inclinada: no começo (pequenos
) a faixa sobe até a reta
; no meio (valores intermediários de
) a faixa abrange toda a altura
a
; no final (grandes
) a faixa começa a “cortar” por baixo e o limite inferior sobe até
.
Passo 6
Escrevendo a integral na ordem
usando a divisão encontrada: a integral
pode ser escrita como soma de três integrais iterados em
primeiro:
Isso é exatamente a mesma região
, apenas com a ordem de integração invertida. Em prova, se pedirem explicitamente a troca de ordem, mostre a justificativa geométrica (projeções e os pontos de quebra
e
) como eu fiz.