Determine as coodernadas cartesianas do ponto P(3, pi) dado em coordenadas polares. Faça a prova real, isto é, o ponto que você encontrou em coordenadas cartesianas, encontre-o em coordenadas polares fazendo todos os cálculos necessários.

Passo 1

O enunciado pede para a gente converter o ponto dado em coordenadas polares (r,theta) = (3,pi) para coordenadas cartesianas (x,y) e depois fazer a prova real reconvertendo esse (x,y) de volta para coordenadas polares. Vamos usar as fórmulas de transformação entre sistemas de coordenadas.

Passo 2

Para converter de coordenadas polares para cartesianas, aplicamos as fórmulas
x = r costheta,
y = r sintheta
Substituindo r = 3 e theta = pi:
x = 3cospi = 3cdot(-1) = -3,
y = 3sinpi = 3cdot0 = 0
Portanto, em cartesianas temos (x,y)=(-3,0).

Passo 3

Agora fazemos a prova real: dados x=-3 e y=0, calculamos o novo raio r' pela fórmula
r' = raizx^2 + y^2
Então
r' = raiz(-3)^2 + 0^2 = raiz9 = 3

Passo 4

Finalmente, determinamos o ângulo theta'. Como x<0 e y=0, o ângulo adequado no intervalo usual [0,2pi) é
theta' = pi
Assim recuperamos as coordenadas polares (r',theta')=(3,pi), confirmando que a transformação inversa devolve exatamente o ponto original.

Resposta

(-3, 0)

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