Uma colônia de algas cresce segundo
A(t)=A_{0} \cdot 1,35^{t},
onde t está em dias.
O ecossistema entra em colapso quando a colônia dobra o tamanho inicial.
Após quantos dias isso ocorrerá?

Passo 1

O enunciado nos dá a lei de crescimento da colônia e pede em que instante ela atinge o dobro do tamanho inicial. Informações fornecidas:
  • A função que descreve a população é A(t)=A_{0}\cdot 1,35^{t}, com t em dias.
  • O ecossistema entra em colapso quando a colônia dobra o tamanho inicial.
    O que é pedido:
  • Determinar o valor de t (em dias) tal que a colônia tenha o dobro de A_{0}.

Passo 2

Escrever a condição matemática do “dobro do tamanho inicial”: a colônia dobra quando A(t)=2A_{0}.
Portanto devemos resolver a equação
A_{0}\cdot 1,35^{t}=2A_{0}.

Passo 3

Simplificar a equação cancelando A_{0} (assumindo A_{0}\neq0), pois aparece em ambos os lados:
1,35^{t}=2.

Passo 4

Explicação conceitual (logaritmos): para resolver uma equação do tipo \,a^{t}=b, onde a>0 e b>0, usa-se logaritmo. O logaritmo é a operação inversa da exponenciação: se a^{t}=b então \log(a^{t})=\log b. Uma propriedade fundamental dos logaritmos é
\log\!\left(a^{t}\right)=t\cdot\log(a),
ou seja, pode-se “trazer o expoente para frente”. Qualquer base de logaritmo serve (log natural \ln ou log base 10); a relação final é a mesma.

Passo 5

Aplicando logaritmo natural \ln aos dois lados da equação 1,35^{t}=2 e usando a propriedade acima:
\ln\!\left(1,35^{t}\right)=\ln 2
t\cdot \ln(1,35)=\ln 2.
Isolando t,
t=\frac{\ln 2}{\ln(1,35)}.

Passo 6

Checagem aproximada sem calculadora (intuição): calcular potências inteiras para localizar t.
1,35^{2}=1,35\cdot1,35=1,8225<2, \qquad 1,35^{3}=1,8225\cdot1,35\approx2,4604>2.
Logo t está entre 2 e 3 dias. Isso já dá uma ideia razoável do resultado.

Passo 7

Cálculo numérico (aproximação usando logaritmos): usar os valores aproximados \ln 2\approx 0,693147 e \ln(1,35)\approx 0,300104. Assim
t\approx\frac{0,693147}{0,300104}\approx 2,3097\ldots
Arredondando para duas casas decimais:
t\approx 2,31\\ \text{dias}.

Passo 8

Interpretação final: a colônia atinge o dobro do tamanho inicial depois de aproximadamente 2,31 dias. Como verificado, isso está entre 2 e 3 dias, e no terceiro dia já teria ultrapassado o dobro.

Resposta

t\approx 2,31\\ \text{dias}

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