Uma colônia de algas cresce segundo
onde
está em dias.
O ecossistema entra em colapso quando a colônia dobra o tamanho inicial.
Após quantos dias isso ocorrerá?
O ecossistema entra em colapso quando a colônia dobra o tamanho inicial.
Após quantos dias isso ocorrerá?
Passo 1
O enunciado nos dá a lei de crescimento da colônia e pede em que instante ela atinge o dobro do tamanho inicial. Informações fornecidas:
- A função que descreve a população é
, com em dias. - O ecossistema entra em colapso quando a colônia dobra o tamanho inicial.
O que é pedido: - Determinar o valor de
(em dias) tal que a colônia tenha o dobro de .
Passo 2
Escrever a condição matemática do “dobro do tamanho inicial”: a colônia dobra quando
.
Portanto devemos resolver a equação
Portanto devemos resolver a equação
Passo 3
Simplificar a equação cancelando
(assumindo
), pois aparece em ambos os lados:
Passo 4
Explicação conceitual (logaritmos): para resolver uma equação do tipo
, onde
e
, usa-se logaritmo. O logaritmo é a operação inversa da exponenciação: se
então
. Uma propriedade fundamental dos logaritmos é
ou seja, pode-se “trazer o expoente para frente”. Qualquer base de logaritmo serve (log natural
ou log base 10); a relação final é a mesma.
Passo 5
Aplicando logaritmo natural
aos dois lados da equação
e usando a propriedade acima:
Isolando
,
Passo 6
Checagem aproximada sem calculadora (intuição): calcular potências inteiras para localizar
.
Logo
está entre
e
dias. Isso já dá uma ideia razoável do resultado.
Passo 7
Cálculo numérico (aproximação usando logaritmos): usar os valores aproximados
e
. Assim
Arredondando para duas casas decimais:
Passo 8
Interpretação final: a colônia atinge o dobro do tamanho inicial depois de aproximadamente
dias. Como verificado, isso está entre
e
dias, e no terceiro dia já teria ultrapassado o dobro.