Um material escolar sofre aumento de
ao mês. Hoje custa
32,00
\mathrm{R} $50,00$ ?
Passo 1
O enunciado dá o preço atual e a taxa de aumento mensal e pergunta em quanto tempo o preço ultrapassará um certo valor. Informações importantes fornecidas:
- Preço hoje:
. - Aumento de
ao mês (composto). - Queremos saber após quanto tempo o preço será maior que
.
Passo 2
Modelagem do problema (fórmula do crescimento composto). Quando um preço cresce
ao período e o crescimento é composto, o preço após
períodos é dado por
onde:
-
é o preço após meses; -
é o preço inicial ( ); -
é a taxa decimal por mês ( para ); -
é o número de meses (pode ser real, se quisermos tempo fracionado).
Aqui, a fórmula fica
Passo 3
Escrever a condição que queremos: encontrar
tal que
. Substituindo,
Isolamos a potência dividindo por
:
Passo 4
Converter a desigualdade exponencial em uma desigualdade linear em
usando logaritmos. Lembrete rápido sobre logaritmo:
. Aplicando o
em ambos os lados (função crescente, preserva desigualdade):
Logo
Passo 5
Calcular os logaritmos numericamente, com cuidado e explicando cada número. Primeiro simplificar a fração:
Observação útil:
, então
, e
, portanto
Também
Substituindo na expressão para
:
Passo 6
Interpretação do resultado. Obtivemos
meses — isto é, aproximadamente
meses depois do preço inicial o valor ultrapassa
. Como normalmente contamos tempo em meses inteiros para esse tipo de pergunta, o primeiro mês inteiro em que o preço já terá ultrapassado
é
meses.
Verificação rápida calculando os preços inteiros:
- Após
meses:
- Após
meses:
Portanto, somente a partir do sexto mês o preço ultrapassa
.
Resposta
6 meses