Um material escolar sofre aumento de 8 \% ao mês. Hoje custa \mathrm{R} \ 32,00 . Após quanto tempo ultrapassaráóá\mathrm{R} $50,00$ ?

Passo 1

O enunciado dá o preço atual e a taxa de aumento mensal e pergunta em quanto tempo o preço ultrapassará um certo valor. Informações importantes fornecidas:
  • Preço hoje: P_0=\mathrm{R}\$\,32{,}00.
  • Aumento de 8\% ao mês (composto).
  • Queremos saber após quanto tempo o preço será maior que \mathrm{R}\$\,50{,}00.

Passo 2

Modelagem do problema (fórmula do crescimento composto). Quando um preço cresce r\% ao período e o crescimento é composto, o preço após t períodos é dado por
P(t)=P_0(1+r)^t,
onde:
  • P(t) é o preço após t meses;
  • P_0 é o preço inicial ( P_0=\mathrm{R}\$\,32{,}00);
  • r é a taxa decimal por mês ( r=0{,}08 para 8\%);
  • t é o número de meses (pode ser real, se quisermos tempo fracionado).
Aqui, a fórmula fica
P(t)=32\,(1{,}08)^t.

Passo 3

Escrever a condição que queremos: encontrar t tal que P(t) > 50. Substituindo,
32\,(1{,}08)^t > 50.
Isolamos a potência dividindo por 32:
(1{,}08)^t > \frac{50}{32}.

Passo 4

Converter a desigualdade exponencial em uma desigualdade linear em t usando logaritmos. Lembrete rápido sobre logaritmo: \ln(a^t)=t\ln a. Aplicando o \ln em ambos os lados (função crescente, preserva desigualdade):
t\ln(1{,}08) > \ln\!\left(\frac{50}{32}\right).
Logo
t > \frac{\ln\!\left(\dfrac{50}{32}\right)}{\ln(1{,}08)}.

Passo 5

Calcular os logaritmos numericamente, com cuidado e explicando cada número. Primeiro simplificar a fração:
\frac{50}{32}=1{,}5625.
Observação útil: 1{,}5625=(1{,}25)^2, então \ln(1{,}5625)=2\ln(1{,}25), e \ln(1{,}25)\approx0{,}223143551, portanto
\ln\!\left(\frac{50}{32}\right)=\ln(1{,}5625)\approx0{,}446287102.
Também
\ln(1{,}08)\approx0{,}076961041.
Substituindo na expressão para t:
t > \frac{0{,}446287102}{0{,}076961041}\approx5{,}80.

Passo 6

Interpretação do resultado. Obtivemos t\gtrsim5{,}80 meses — isto é, aproximadamente 5{,}80 meses depois do preço inicial o valor ultrapassa \mathrm{R}\$\,50{,}00. Como normalmente contamos tempo em meses inteiros para esse tipo de pergunta, o primeiro mês inteiro em que o preço já terá ultrapassado \mathrm{R}\$\,50{,}00 é t=6 meses.
Verificação rápida calculando os preços inteiros:
  • Após 5 meses:
P(5)=32\,(1{,}08)^5\approx32\cdot1{,}46932812\approx\mathrm{R}\$\,47{,}02<50.
  • Após 6 meses:
P(6)=P(5)\cdot1{,}08\approx47{,}02\cdot1{,}08\approx\mathrm{R}\$\,50{,}78>50.
Portanto, somente a partir do sexto mês o preço ultrapassa \mathrm{R}\$\,50{,}00.

Resposta

6 meses

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