Questão 4. Resolva a equação diferencial utilizando fator integrante
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial usando fator integrante:
Informações dadas e o que é pedido:
- A incógnita é a função
. - A equação envolve
e potências de . - É pedido aplicar o método do fator integrante para encontrar a solução geral.
- Observação importante: a equação contém termos com divisão por
, logo só faz sentido trabalhar em intervalos onde . Vou resolver explicitamente para (o caso é análogo, com sinais de raiz tratados separadamente).
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Para isso dividimos toda a equação original por
(válido para
):
o que dá
Aqui
e
.
Passo 3
Relembrando o método do fator integrante de forma didática:
- Para a equação
define-se o fator integrante
- Multiplicando a equação por
obtemos
pois
e
pela definição de
. Depois integra-se e isola-se
.
Agora aplicamos isso ao nosso
: calcular
.
Passo 4
Calcular o fator integrante:
Integrando,
Portanto
Como estou resolvendo explicitamente para
, posso escrever
.
Passo 5
Multiplicar a equação na forma padrão por
. A equação padrão é
então ao multiplicar por
obtemos
O lado esquerdo é exatamente
. Logo temos a equação equivalente
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Calcular a integral do lado direito:
Multiplicando por
:
Portanto
Passo 7
Isolar
. Multiplicando ambos os lados por
(que é
para
):
Simplificando os termos:
Escrevendo de forma convencional:
onde
é uma constante arbitrária. Esta é a solução geral válida em qualquer intervalo onde
. Para
obtém-se uma forma análoga trocando
por
e considerando constante possivelmente distinta em cada intervalo
e
.
Passo 8
Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando
obtém-se
Substituindo em
temos
e
Subtraindo,
o que confirma que a solução encontrada satisfaz a equação original.