Questão 4. Resolva a equação diferencial utilizando fator integrante
2 x^{2} y^{\prime}-x y=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial usando fator integrante:
2 x^{2} y^{\prime}-x y=1.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação envolve y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx} e potências de x.
  • É pedido aplicar o método do fator integrante para encontrar a solução geral.
  • Observação importante: a equação contém termos com divisão por x, logo só faz sentido trabalhar em intervalos onde x\neq0. Vou resolver explicitamente para x>0 (o caso x<0 é análogo, com sinais de raiz tratados separadamente).

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
y^{\prime}+P(x)\,y=Q(x).
Para isso dividimos toda a equação original por 2x^{2} (válido para x\neq0):
\frac{2x^{2}y^{\prime}-x y}{2x^{2}}=\frac{1}{2x^{2}}
o que dá
y^{\prime}-\frac{1}{2x}\,y=\frac{1}{2x^{2}}.
Aqui P(x)=-\dfrac{1}{2x} e Q(x)=\dfrac{1}{2x^{2}}.

Passo 3

Relembrando o método do fator integrante de forma didática:
  • Para a equação y^{\prime}+P(x)y=Q(x) define-se o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
  • Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos
\big(\mu(x)\,y\big)^{\prime}=\mu(x)\,Q(x),
pois \big(\mu y\big)^{\prime}=\mu y^{\prime}+\mu' y e \mu'=\mu P pela definição de \mu. Depois integra-se e isola-se y.
Agora aplicamos isso ao nosso P(x): calcular \mu(x).

Passo 4

Calcular o fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\left(\int -\frac{1}{2x}\,dx\right).
Integrando,
\int -\frac{1}{2x}\,dx=-\frac{1}{2}\ln|x|.
Portanto
\mu(x)=\exp\!\left(-\tfrac{1}{2}\ln|x|\right)=|x|^{-1/2}.
Como estou resolvendo explicitamente para x>0, posso escrever \mu(x)=x^{-1/2}.

Passo 5

Multiplicar a equação na forma padrão por \mu(x)=x^{-1/2}. A equação padrão é
y^{\prime}-\frac{1}{2x}y=\frac{1}{2x^{2}},
então ao multiplicar por x^{-1/2} obtemos
x^{-1/2}y^{\prime}-\frac{1}{2}x^{-3/2}y=\frac{1}{2}x^{-5/2}.
O lado esquerdo é exatamente \big(x^{-1/2}y\big)^{\prime}. Logo temos a equação equivalente
\big(x^{-1/2}y\big)^{\prime}=\frac{1}{2}x^{-5/2}.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a x:
x^{-1/2}y=\int \frac{1}{2}x^{-5/2}\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Calcular a integral do lado direito:
\int x^{-5/2}\,dx=\frac{x^{-3/2}}{-3/2}=-\frac{2}{3}x^{-3/2}.
Multiplicando por \tfrac{1}{2}:
\int \frac{1}{2}x^{-5/2}\,dx=-\frac{1}{3}x^{-3/2}.
Portanto
x^{-1/2}y=-\frac{1}{3}x^{-3/2}+C.

Passo 7

Isolar y. Multiplicando ambos os lados por x^{1/2} (que é \mu^{-1} para x>0):
y=x^{1/2}\left(-\frac{1}{3}x^{-3/2}+C\right).
Simplificando os termos:
y=-\frac{1}{3}x^{-1}+C x^{1/2}.
Escrevendo de forma convencional:
y(x)=C\,x^{1/2}-\frac{1}{3x},
onde C é uma constante arbitrária. Esta é a solução geral válida em qualquer intervalo onde x>0. Para x<0 obtém-se uma forma análoga trocando x^{1/2} por ( -x)^{1/2} e considerando constante possivelmente distinta em cada intervalo (-\infty,0) e (0,\infty).

Passo 8

Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando y obtém-se
y'=\frac{C}{2}x^{-1/2}+\frac{1}{3x^{2}}.
Substituindo em 2x^{2}y'-x y temos
2x^{2}y'=2x^{2}\left(\frac{C}{2}x^{-1/2}+\frac{1}{3x^{2}}\right)=C x^{3/2}+\frac{2}{3},
e
x y=x\left(C x^{1/2}-\frac{1}{3x}\right)=C x^{3/2}-\frac{1}{3}.
Subtraindo,
2x^{2}y'-x y=\left(C x^{3/2}+\frac{2}{3}\right)-\left(C x^{3/2}-\frac{1}{3}\right)=1,
o que confirma que a solução encontrada satisfaz a equação original.

Resposta

y(x)=C\,x^{1/2}-\dfrac{1}{3x} (solução geral válida para x>0, com C constante).

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